Escola Naval - 2017 - Funções

por Romanelo Qua 27 Abr 2022, 09:37

EN) Seja f(x) = x + lg(x), x>0. Sabendo que f admite função inversa g, calcule g''(1) e assinale a opção correta.
a)1/2
b)1/4
c)1/6
d)1/8
e)1/10

gabarito: d) 1/8

por **petras** Qua 27 Abr 2022, 10:09

Se f(x) = x + ln x, x > 0, então f '(x) = (x)' + (ln x)' → f '(x) = 1 + 1/x

Se f '(x) = 1 + 1/x, então f "(x) = (1)'+ (1/x)'→ f "(x) = 0 + (1/x)' → f "(x) = -1/x²

Assim,

f(1) = 1 + ln1 → f(1) = 1;

f '(1) = 1 + 1/1 → f '(1) = 2

f "(x) = - 1/1² → f "(x) = -1

Como g é inversa de f, g(f(x)) = x, então g'(f(x)) . f '(x) = (x)' →

g'(f(x)) . f '(x) = 1 (eq.I).

Da (eq. I), [g'(f(x))]' . f '(x) + g'(f (x)). [f '(x)]' = (1)' →

g''(x) . f '(x). f '(x) + g'(f (x)). f ''(x) = 0 (eq. II)

Das equações (I) e (II), g''(x) . f '(x). f '(x) + [1/f '(x)] .f ''(x) = 0 (eq. III)

Substituindo x = 1 na equação (III) → g''(1) . f '(1). f '(1) + [1/f '(1)] .f ''(1) = 0

g''(1) . 2 . 2 + 1/2 . (- 1) = 0 → 4g''(1) - 1/2 = 0 → 4g''(1) = 1/2 → g''(1) = 1/8
(Fonte :Prof.LuizBolinha)

por Romanelo Qui 28 Abr 2022, 08:08

petras escreveu:Se f(x) = x + ln x, x > 0, então f '(x) = (x)' + (ln x)' → f '(x) = 1 + 1/x

Se f '(x) = 1 + 1/x, então f "(x) = (1)'+ (1/x)'→ f "(x) = 0 + (1/x)' → f "(x) = -1/x²

Assim,

f(1) = 1 + ln1 → f(1) = 1;

f '(1) = 1 + 1/1 → f '(1) = 2

f "(x) = - 1/1² → f "(x) = -1

Como g é inversa de f, g(f(x)) = x, então g'(f(x)) . f '(x) = (x)' →

g'(f(x)) . f '(x) = 1 (eq.I).

Da (eq. I), [g'(f(x))]' . f '(x) + g'(f (x)). [f '(x)]' = (1)' →

g''(x) . f '(x). f '(x) + g'(f (x)). f ''(x) = 0 (eq. II)

Das equações (I) e (II), g''(x) . f '(x). f '(x) + [1/f '(x)] .f ''(x) = 0 (eq. III)

Substituindo x = 1 na equação (III) → g''(1) . f '(1). f '(1) + [1/f '(1)] .f ''(1) = 0

g''(1) . 2 . 2 + 1/2 . (- 1) = 0 → 4g''(1) - 1/2 = 0 → 4g''(1) = 1/2 → g''(1) = 1/8
(Fonte :Prof.LuizBolinha)

não sabia que tinha que usar calculo kkkk, obrigado pela ajuda s2

por **qedpetrich** Qui 28 Abr 2022, 08:35

Romanelo, a Escola Naval gosta de cobrar derivadas polinomiais simples. Sendo f(x), uma função qualquer, a notação f'(x) ─ lê-se efê linha de x ─ é a primeira derivada de f. Já para f''(x), trata-se da derivada de segunda ordem, e assim por diante.