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por jjbr4603 Sáb 12 Mar 2022, 07:40
Dados os vetores [latex]\vec{a}[/latex]= (1,-1,0), [latex]\vec{b}=(3,-1,1)[/latex], [latex]\vec{c}= (2,2,1)[/latex] e [latex]\vec{d}= (4,-3,1)[/latex]. Determine o vetor [latex]\vec{v}= (x,y,z)[/latex], tal que [latex](\vec{v}+\vec{a})//\vec{b}[/latex] e [latex](\vec{v}+\vec{c})//\vec{d}[/latex].
Como resolve essa questão?
jjbr4603- Iniciante
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Re: Vetores
por Rory Gilmore Sáb 12 Mar 2022, 13:21
Temos:
v + a = (x + 1, y - 1, z)
v + c = (x + 2, y + 2, z + 1)
Produto vetorial (v + a) x b = 0 :
x + 1 y - 1 z
3 -1 1
Donde vem o sistema:
y + z = 1
x - 3z = - 1
- x - 3y = - 2
Solução:
x = - 1 + 3z
y = 1 - z
Logo:
v + c = (1 + 3z, 3 - z, z + 1)
Produto vetorial (v + c) x d = 0:
1 + 3z 3 - z z + 1
4 -3 1
Donde vem o sistema:
3 - z + 3z + 3 = 0
1 + 3z - 4z - 4 = 0
- 3 - 9z - 12 + 4z = 0
Solução:
z = - 3
Logo:
x = - 10
y = 4
z = - 3
E portanto:
v = (-10, 4, -3)
v + a = (x + 1, y - 1, z)
v + c = (x + 2, y + 2, z + 1)
Produto vetorial (v + a) x b = 0 :
x + 1 y - 1 z
3 -1 1
Donde vem o sistema:
y + z = 1
x - 3z = - 1
- x - 3y = - 2
Solução:
x = - 1 + 3z
y = 1 - z
Logo:
v + c = (1 + 3z, 3 - z, z + 1)
Produto vetorial (v + c) x d = 0:
1 + 3z 3 - z z + 1
4 -3 1
Donde vem o sistema:
3 - z + 3z + 3 = 0
1 + 3z - 4z - 4 = 0
- 3 - 9z - 12 + 4z = 0
Solução:
z = - 3
Logo:
x = - 10
y = 4
z = - 3
E portanto:
v = (-10, 4, -3)
Rory Gilmore- Monitor
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jjbr4603- Iniciante
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Re: Vetores
por aitchrpi Sáb 12 Mar 2022, 14:23
Uai, mas v // u não significa que v e u são paralelos, e não perpendiculares como a Rory considerou?
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
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Re: Vetores
por Rory Gilmore Sáb 12 Mar 2022, 15:06
Vetores paralelos têm produto vetorial nulo.
Vetores ortogonais têm produto escalar nulo.
Eu usei o primeiro fato e me parece que você confundiu com o segundo.
Vetores ortogonais têm produto escalar nulo.
Eu usei o primeiro fato e me parece que você confundiu com o segundo.
Rory Gilmore- Monitor
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Re: Vetores
por aitchrpi Sáb 12 Mar 2022, 17:15
Eu realmente confundi, desculpa! Outra forma de resolver a questão:
[latex]\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} 3\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}[/latex]
[latex]\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 1 \end{bmatrix} = k'\begin{bmatrix} 4\\ -3\\ 1 \end{bmatrix}[/latex]
Logo, do primeiro vetor obtemos que:
x + 1 = 3k
y - 1 = -k
Ou seja, 3y + x = 2. Do segundo vetor,
x + 2 = 4k'
y + 2 = -3k'
Portanto, 3x + 4y = -14. Das duas equações para x e y descobrimos que y = 4 e x = 10. Mas do primeiro vetor, z = k = 1 - y = -3.
[latex]\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} 3\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}[/latex]
[latex]\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 1 \end{bmatrix} = k'\begin{bmatrix} 4\\ -3\\ 1 \end{bmatrix}[/latex]
Logo, do primeiro vetor obtemos que:
x + 1 = 3k
y - 1 = -k
Ou seja, 3y + x = 2. Do segundo vetor,
x + 2 = 4k'
y + 2 = -3k'
Portanto, 3x + 4y = -14. Das duas equações para x e y descobrimos que y = 4 e x = 10. Mas do primeiro vetor, z = k = 1 - y = -3.
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
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