Limite

Sendo [latex]\lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{5}}{x}\right)=b[/latex]  calcule a e b

gabarito:

Seja f(x) = √x.

Observe que tal limite é a derivada de f calculada em a, isto é:
f'(a) = lim    [√(a + x) - √a]/x
          x→0

Logo, a = 5 e f'(x) = 1/2√x
b = f'(5)

Então:
b = 1/2√5 = √5/10

Obrigado pela solução, Rory.
Mas gostaria de saber se é possível resolver essa questão sem utilizar derivadas. Pelo menos no meu livro, essa questão apareceu no capítulo de limites. Derivadas só é ensinado no próximo capítulo.

A propósito, em um exercício anterior o autor usou essa ideia da divisibilidade do polinômio. Eu não consegui entender como ele chegou a conclusão de que o numerador é divisível pelo polinômio x-1, mas penso que talvez seja uma estratégia pra usar nessa questão que eu postei.

O limite do denominador vai para zero. Devemos então impor que o numerador seja nulo, caso contrário o limite não existe.

Por exemplo, no exercício que você postou temos:
[√(a + x) - √5]/x 

E multiplicando pelo "conjugado" do numerador vem:
(a + x - 5)/x.[√(a + x) + √5]

Logo, a + 0 - 5 = 0 e então a = 5.

Então teremos o limite:
lim      x/x.[√(5 + x) + √5] = 1/2√5 = √5/10
x → 0

Portanto b = √5/10.

Que é o nome do livro?

Rory Gilmore escreveu:O limite do denominador vai para zero. Devemos então impor que o numerador seja nulo, caso contrário o limite não existe.

Por exemplo, no exercício que você postou temos:
[√(a + x) - √5]/x 

E multiplicando pelo "conjugado" do numerador vem:
(a + x - 5)/x.[√(a + x) + √5]

Logo, a + 0 - 5 = 0 e então a = 5.

Então teremos o limite:
lim      x/x.[√(5 + x) + √5] = 1/2√5 = √5/10
x → 0

Portanto b = √5/10.

Que é o nome do livro?

Muito interessante essa estratégia.
Mas eu ainda fiquei com uma dúvida: se o denominador vai pra zero, forçar que o numerador também vá para zero não iria gerar uma indeterminação?

O livro é o volume 8 da coleção "Noções de Matemática" do Aref.

Perceba que temos 0 como raiz do denominador:
[latex]\lim \underset{x \to 0}{}\: \: \frac{a + x - 5}{x.(\sqrt{a+x}+\sqrt{5})}[/latex]

e o que fizemos foi impor que 0 seja raiz do numerador também:
a + 0 - 5 = 0

pois isso causa o surgimento de um fator x no numerador e cancela a indeterminação, não faz surgir outra.

É só conferir que no final ficaremos com o seguinte limite:
[latex]\lim \underset{x \to 0}{}\: \:  \frac{ x }{x.(\sqrt{a+x}+\sqrt{5})} = \lim \underset{x \to 0}{}\: \:  \frac{1 }{(\sqrt{a+x}+\sqrt{5})}[/latex]


Este último não possui fator tendendo a zero no denominador.

Agora ficou claro! Muito obrigado.
Vou deixar a minha solução de um outro exercício bem parecido que fiz agora, só pra fixar as ideias.

Se [latex]\lim _{x\to 1}\left(\frac{\left(a+1\right)x+b}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}\right)=4[/latex], calcule a e b

Fatorando a expressão, temos:
[latex]\lim _{x\to 1}\left(\frac{\left[\left(a+1\right)x+b\right]\left(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}\right)}{x-1}\right)=8[/latex]

Para que o limite exista, [latex]\left[\left(a+1\right)x+b\right][/latex] deve ser divisível por [latex]x-1[/latex].

Dessa forma, [latex]a=-\left(b+1\right)[/latex]

Substituindo na expressão, temos que:
[latex]\lim _{x\to 1}\left(\frac{\left[-b\left(x-1\right)\right]\left(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}\right)}{x-1}\right)=8[/latex]

[latex]\lim _{x\to 1}\left(-b\left(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}\right)\right)=8[/latex]

Para x tendendo a 1, encontramos que b =- 2 e a = 1

Me parece que você errou na conta do denominador na passagem em que multiplica pelo "conjugado", pois daria 3x + 1 - (x + 3) = 2x - 2 e você escreveu x - 1.

Eu fatorei o 2x-2 como 2(x-1) e passei o 2 multiplicando o 4 da igualdade.
Como eu não tenho muita habilidade com o LaTex eu omiti esse passo