Rússia - Representação decimal de números

(Rússia) Os números 2ⁿ e 5ⁿ têm representações decimais começando, à esquerda, por um mesmo algarismo. Prove que tal algarismo deve ser igual a 3.



Consegui notar que isso ocorre para n = 5, mas nada mais. O exercício foi retirado do livro Tópicos de Matemática Elementar, volume 1. Vou deixar a sugestão de resolução do autor, a qual não entendi muito bem. 

Ele sugere que façamos o seguinte: "Sendo a o algarismo inicial, conclua inicialmente que existem inteiros não negativos k e p tais a . 10^k < 2ⁿ < (a + 1) . 10^k e a . 10^p < 5ⁿ < (a + 1) . 10^p; em seguida, multiplique essas duas desigualdades membro a membro."

A primeira parte da resolução "[latex]a \cdot 10^k < 2^n < (a + 1) \cdot 10^k[/latex]" é bem simples. Vamos supor que [latex]n[/latex] seja [latex]5[/latex], ou seja [latex]2^n =2^{5}= 32 =3 \cdot 10^1 +2\cdot 10^0[/latex]. Nesse caso a é 3 e a desigualdade fica [latex]3 \cdot 10^1 < 2^{5} < (3 + 1) \cdot 10^1 \iff 30 < 32 < 40[/latex]. Já a parte do 5 fica [latex]5^5 = 3125[/latex] e a desigualdade fica [latex]3\cdot 10^3 < 5^5 < (3+1)\cdot10^3 \iff 3000 < 3125 < 4000[/latex]. 


A segunda parte da resolução pede para a gente multiplicar as desigualdades:




[latex]\begin{cases} a \cdot 10^k < 2^n < (a + 1) \cdot 10^k\\~\\ a \cdot 10^p < 5^n < (a + 1) \cdot 10^p \end{cases}[/latex]


Multiplicando:


[latex] a^2 \cdot 10^{k+p} < 2^n\cdot 5^n < (a + 1)^2 \cdot 10^{k+p}[/latex]



[latex] a^2 \cdot 10^{k+p} < 10^n < (a + 1)^2 \cdot 10^{k+p}[/latex]

Dividindo por [latex]10^{k+p}[/latex]:


[latex]a^2< 10^{n-k-p} < (a + 1)^2[/latex]



Como a é um digito, o maior valor de (a+1)^2 é (9+1)^2 = 100 e o menor valor de a^2 é 1^2 =1. Temos então que [latex] 1 < 10^{n-k-p} <100 \iff 10^0 <10^{n-k-p} <10^2 \implies n-k-p = 1[/latex]. Voltando à inequação : 


[latex]a^2< 10< (a + 1)^2[/latex]


Único algarismo que responde a desigualdade é o 3. 


Sem a dica, essa questão ia ficar meio pegada  .

Na modelagem do exercício, não consegui entender muito bem por que as desigualdades devem ser multiplicadas. Por que devemos fazer isso?

gabriel_balbao escreveu:Na modelagem do exercício, não consegui entender muito bem por que as desigualdades devem ser multiplicadas. Por que devemos fazer isso?

A multiplicação é necessária ao perceber que [latex]2^n\cdot 5^n = 10^n[/latex] e que resulta [latex]10^{p+k}[/latex] nos dois membros. Com isso, é possível desenvolver o resto.

Excelente solução!

Foi uma ótima resolução, Tales.

Demorei bastante a resolver essa questão porque fui tentado a provar, primeiro, que um determinado número era igual a 10^k+q.

Depois fiz de um jeito muito parecido com o seu, mas confesso que senti muita dificuldade.
Sou iniciante na matemática e confesso que é um pouco desanimador ver questões que pra mim foram tão trabalhosas serem lidas como fáceis.