Tangenciamento entre reta e cônica

(EsFAO) A reta [latex]x-2y-k=0[/latex] é tangente à curva [latex]3x^{3}+4y^{2}-8y-8=0[/latex]. O valor de k é:


a) 2 ou -6
b) 2 ou -2
c) 3 ou 4
d) -3 ou 8
e) -3 ou 5


Gab.: a

Imagino que tenha um erro no enunciado pois uma cônica não pode ter termo em x³. Então, vou adotar que se trate de 3x² + 4y² - 8y - 8 = 0.

A reta tangencia a elipse se o sistema abaixo tiver solução única.
x - 2y - k = 0                         
3x² + 4y² - 8y - 8 = 0

Vamos resolver tal sistema:
I) Da reta tiramos x em função de y:
x - 2y - k = 0
x = 2y + k

II) Substituímos x na cônica:
3(2y + k)² + 4y² - 8y - 8 = 0
3.(4y² + 4ky + k²) + 4y² - 8y - 8 = 0
12y² + 12ky + 3k² + 4y² - 8y - 8 = 0
16y² + (12k - 8)y + 3k² - 8 = 0

III) Impondo ∆ = 0 teremos um único valor de y e portanto solução única como gostaríamos. Então:
(12k - ² - 4.16.(3k² - = 0
144k² - 192k + 64 - 192k² + 512 = 0
- 48k² - 192k + 576 = 0
- k² - 4k + 12 = 0

Assim k = 2 ou k = - 6.

Um gráfico para os valores de k encontrados: