Caixa na forma de um paralelepípedo

por GILSON TELES ROCHA Qui 27 Out 2011, 21:27

Deseja-se construir uma caixa na forma de um paralelepípedo
retângulo, sem tampa, de base quadrada a partir de uma folha de
papelão quadrada, de lado medindo 12 cm. Retira-se de cada
canto do papelão um quadrado cujo lado mede x cm e dobram-se
perpendicularmente e para um mesmo lado as abas restantes
formando, assim, a caixa proposta, conforme as figuras abaixo.
Para cada x, defina V(x) = volume da caixa. Julgue os itens a
seguir a respeito dessa caixa.

A) V(x) tem 3 pontos críticos no interior de seu domínio.
B) A caixa de volume máximo que pode-se obter dessa construção tem volume igual a 128 cm³.
C)Se A(x) é a área total da caixa obtida após a retirada dos 4 cantos quadrados, então A(x) é uma função decrescente.
Caixa na forma de um paralelepípedo Figura1hk

Caixa na forma de um paralelepípedo Figura1hk

por rihan Sáb 29 Out 2011, 07:00

Lado do Quadrado (Base)= 12 - 2x

Área da Base = (12 -2x)² = 4x² - 48x + 144

(a)

Volume = V = A.x => V = 4x³ - 48x² + 144x

(b)

V' = 12x² -96x + 144

V´= 0 ?

12x² - 96x + 144 = 0

x² - 8x + 12 = 0

x = 2 ou x = 6

V'' = 24x - 96

V'' = 0 ?

24x - 96 = 0 ==> x = 96/24 = 4 ---> Inflexão: x = 4

V''(2) = 48 -96 < 0 ==> x=2 máximo relativo e x =6 , mínimo relativo

Temos x > 0

Como 12 - 2x > 0 ==> 12 > 2x ==> x < 6

No Domínio temos que ter 0< x < 6

Temos então 3 pontos críticos: Os limites do intervalo (0; 6) e 2, o seu máximo.

Vmax = V(2) = 128

(c)

Área total: Base + Área Lateral

A = 4x² - 48x + 144 + 4x*(12 - 2x)

A = 4x² - 48x + 144 + 48x - 8x²

A = -4x² + 144

Ou, mais fácil: Área total = Área inicial - retirado = 144 - 4x²

-4x² + 144 = 0

x² = 36

x = ±36

Parábola com concavidade para baixo, máximo em x= 0, então, entre 0 e 6 a função A(x) é decrescente.

Caixa na forma de um paralelepípedo ADK4DwCiMws7raurm5d0Ag4LecRQGTD4r6fVyxkQiOgYD5nCUQ0AohoBBDRCCCiEUBEI4CIRgARjQAiGgFENAKIaAQQ0QggohFARCOAiEYAEY0AIhoBRDQCiGgEENEIIKIRQEQjgIhGABGNACIaAUQ0AohoBBDRCCCiEUBEI4CIRgARjQAiGgFENAKIaAQQ0QggohFA5D94MKtoPk5wNwAAAABJRU5ErkJggg==