Sistemas

Para quantos valores de k o sistema linear




possui soluções não nulas?

Alternativas
A)Nenhum.
B)Um único valor positivo.
C)Três valores, sendo dois negativos e um positivo.
D)Três valores, sendo dois positivos e um negativo.
E)Somente dois valores positivos.

Resposta:E

Consegui resolver o problema, achando os valores de K = 1 e 2.
Resolvi do seguinte modo:
Passei tudo para o primeiro membro:
[latex]\left\{\begin{matrix} 2x - kx + 2y -z = 0 \\ x - ky + z = 0 \\ 2x - 2y + 3z - kz =0 \end{matrix}\right.[/latex]

Coloquei dentro da matriz:
[latex]\begin{bmatrix} 2-k & 2 &-1 \\ 1& -k & 1\\ 2& -2 & 3-k \end{bmatrix}[/latex]

Achei a equação:

[latex]-k^{3} + 5k^{2} -8k + 4 [/latex]
Encontrei as raízes : 1 e 2

Nessa parte fiquei com dúvida, a questão pede os valores de K para que as equações possuam soluções não nulas, então devo considerar o sistema como SPD ou SPI? Por quê?

Se o enunciado pedisse os valores para que as soluções fossem nulas, então seria um SI?

Como as três equações são iguais a zero,trata-se de um SLH(Sistema Linear Homogêneo),uma vez que a tripla ordenada(0,0,0) é solução deste,dada como solução TRIVIAL do SLH.

Como a solução trivial é válida,o sistema não pode ser SI,restando apenas as possibilidades de ele ser SPD ou SPI,dependendo apenas do valor do determinante D.

Se D é igual a zero,o sistema é SPD e admite apenas a solução nula (0,0,0).

Se D é diferente de zero,o sistema é SPI e admite infinitas soluções além da trivial,tidas como soluções não nulas.

O último caso só é possível para dois valores:1 e 2,ambos positivos.