Álgebra
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Álgebra
por eduardodudu101 Sex 08 Out 2021, 13:18
Se [latex]\alpha \neq \beta[/latex],[latex]f(n) = \alpha^^{n} + \beta^^{n}[/latex] e [latex]\begin{vmatrix} 3 & 1 + f(1) & 1+f(2)\\ 1 + f(1) & 1 + f(2) & 1+f(3)\\ 1 + f(2) & 1 + f(3) & 1 + f(4) \end{vmatrix} \equiv k(1-\alpha)^^{2}(1-\beta)^^{2}(\alpha - \beta)^^{2}[/latex] então o valor de k vale:
a)[latex]\alpha\beta[/latex]
b)[latex]-1[/latex]
c)[latex]\frac{1}{\alpha\beta}[/latex]
d)[latex]1[/latex]
e)[latex]\alpha + \beta[/latex]
a)[latex]\alpha\beta[/latex]
b)[latex]-1[/latex]
c)[latex]\frac{1}{\alpha\beta}[/latex]
d)[latex]1[/latex]
e)[latex]\alpha + \beta[/latex]
- Gabarito:
- d
Última edição por eduardodudu101 em Sáb 23 Out 2021, 02:04, editado 1 vez(es)
eduardodudu101- Jedi
- Mensagens : 221
Data de inscrição : 15/07/2017
Idade : 22
Localização : Porto Velho,Rondônia,Brasil
Re: Álgebra
por orunss Sex 08 Out 2021, 15:49
adotando:
(Regra de Chió)
basta substituir os valores de f(1), f(2),f(3) e f(4) na função dada e fatorar que vai dá o resultado.
basta substituir os valores de f(1), f(2),f(3) e f(4) na função dada e fatorar que vai dá o resultado.
orunss- Jedi
- Mensagens : 244
Data de inscrição : 03/01/2019
Idade : 24
Localização : Recife-PE
eduardodudu101 e Edu lima gostam desta mensagem
eduardodudu101- Jedi
- Mensagens : 221
Data de inscrição : 15/07/2017
Idade : 22
Localização : Porto Velho,Rondônia,Brasil
orunss gosta desta mensagem
Re: Álgebra
por eduardodudu101 Sáb 23 Out 2021, 01:32
Orunss,não sei se a propriedade da soma de determinantes é válida nesse caso. De todos os exemplos que vi,todos trataram somente da soma dos elementos de uma fila,repetindo todos os outros.
Bom,de qualquer forma,fiz da seguinte forma:
[latex]\begin{pmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \beta\\ 1 & \alpha^^{2} & \beta^^{2} \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \alpha^^{2}\\ 1 & \beta & \beta^^{2} \end{pmatrix}[/latex]
Logo,a matriz pode ser reescrita em um produto entre duas matrizes de Vandermonde,de modo que:
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \beta\\ 1 & \alpha^^{2} & \beta^^{2} \end{vmatrix}. \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \alpha^^{2}\\ 1 & \beta & \beta^^{2} \end{vmatrix}[/latex]
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} = (\alpha - 1)^^{2}(\beta - \alpha)^^{2}(\beta - 1)^^{2}[/latex]
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} = (-1)^^{2}(1-\alpha)^^{2}(-1)^^{2}(\alpha - \beta)^^{2}(-1)^^{2}(1-\beta)^^{2}[/latex]
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} =(1-\alpha)^^{2}(\alpha - \beta)^^{2}(1-\beta)^^{2}[/latex]
Portanto,k = 1
Bom,de qualquer forma,fiz da seguinte forma:
[latex]\begin{pmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \beta\\ 1 & \alpha^^{2} & \beta^^{2} \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \alpha^^{2}\\ 1 & \beta & \beta^^{2} \end{pmatrix}[/latex]
Logo,a matriz pode ser reescrita em um produto entre duas matrizes de Vandermonde,de modo que:
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \beta\\ 1 & \alpha^^{2} & \beta^^{2} \end{vmatrix}. \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha & \alpha^^{2}\\ 1 & \beta & \beta^^{2} \end{vmatrix}[/latex]
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} = (\alpha - 1)^^{2}(\beta - \alpha)^^{2}(\beta - 1)^^{2}[/latex]
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} = (-1)^^{2}(1-\alpha)^^{2}(-1)^^{2}(\alpha - \beta)^^{2}(-1)^^{2}(1-\beta)^^{2}[/latex]
[latex]\begin{vmatrix} 3 & \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1\\ \alpha + \beta + 1 & \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 & \alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1\\ \alpha^^{2} + \beta^^{2} + 1 &\alpha^^{3} + \beta^^{3} + 1 & \alpha^^{4} + \beta^^{4} + 1 \end{vmatrix} =(1-\alpha)^^{2}(\alpha - \beta)^^{2}(1-\beta)^^{2}[/latex]
Portanto,k = 1
eduardodudu101- Jedi
- Mensagens : 221
Data de inscrição : 15/07/2017
Idade : 22
Localização : Porto Velho,Rondônia,Brasil
orunss gosta desta mensagem
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
