Lei dos cossenos - FGV (SP)

por JohnnyC Sáb 14 Ago 2021, 00:21

Na figura seguinte, AB = BC = CD = DE = 2 e A^BC = B^CD = 2pi/3 e C^DE = pi/2. Calcule a distância entre os pontos A e E.

R: 2[√(5 - 2√3)]

pessoal, não soube fazer essa questão. Alguém poderia ajudar ? eu pensei em calcular AC por lei dos cossenos e CE por Pitágoras e fazer um triângulo ACE, mas acho que não dá certo...obrigado.

ps: como não sei usar o LaTex, tudo dentro do parênteses está dentro da raiz quadrada. Lê-se: 2 raiz quadrada de (cinco - 2 raiz de 3)

por **Elcioschin** Sáb 14 Ago 2021, 01:39

No triângulo ABC: A^BC = 120º ---> BÂC = B^CA = 30º
No triângulo BCD: B^CD = 120º ---> C^BD = C^DB = 30º

Lei dos cossenos em ABC: AC² = AB² + BC² - 2.AB.CD.cosA^BC --->

AC² = 2² + 2² - 2.2.2.cos120º ---> AC² = 12 ---> AC = 2.√3

No triângulo retângulo CDE ---> CE² = CD² + DE² --> CE² = 8 ---> CE = 2.√2

Lei dos cossenos no triângulo ACE:

AE² = AC² + CE² - 2.AC.CE.cosA^CE ---> AE² = 12 + 8 - 2.(2.√2).(2.√2).cos45º

Calcule AE

por JohnnyC Sáb 14 Ago 2021, 01:46

Muito obrigado pela ajuda, Mestre!!!!
Agora ficou tranquilo...assim que eu terminar de botar no papel e ver que bateu com o gabarito, marco a questão com resolvido.

por JohnnyC Sáb 14 Ago 2021, 02:09

Deu certíssimo! Obrigado, Mestre.

por **Medeiros** Dom 15 Ago 2021, 23:37

Johnny,
um modo com menos conta, mais rápido.

Note que temos segmentos de mesmo tamanho (2), três deles ligados por ângulos de 120º. Isto nos lembra a metade de um hexágono regular com R=2 -- acompanhe esta adaptação no desenho à direita. Assim, já temos AD=4, o ângulo CˆDB=60º e consequentemente o ângulo AˆDE=30º. Agora é só a lei dos cossenos.

por JohnnyC Seg 16 Ago 2021, 01:00

Excelente resolução, Medeiros. Confesso que não conseguiria pensar nela (talvez o raciocínio seja mais difícil, embora seja mais rápida), mas é uma excelente resolução alternativa. Anotei o passo-a-passo da sua resolução. Muito obrigado, amigo.

por **Medeiros** Ter 17 Ago 2021, 00:30

Ao contrário, Johnny, o raciocínio é mais fácil. É só pensar: o que eu já conheço, que já está pronto e eu posso usar aqui, assim facilitando o meu trabalho?

A gente aproveita tudo o que já fez; não fazemos de novo. Note que o elaborador da questão, só de sacanagem, não desenhou corretamente os ângulos para assim atrapalhar essa nossa visão. Se ele tivesse desenhado direito isto ficaria evidente à primeira vista.