Geometria Plana

Um aluno curioso resolveu criar uma espiral usando semicírculos em um processo infinito da seguinte forma: ele começa com uma semicircunferência centrada na origem de raio 1 no hemisfério sul do plano cartesiano, depois conecta o ponto (1,0) com uma semicircunferência de raio 1/2 no hemisfério norte do plano, em seguida, conecta no ponto (0,0) uma semicircunferência de raio 1/4 no hemisfério sul do plano e assim por diante, fazendo o raio de cada semicircunferência construída ser metade do raio da semicircunferência da etapa anterior no processo. As primeiras etapas do processo podem ser vistas na figura abaixo.

Bom dia!

Existem diversas maneiras para resolver essa questão, optei por P.G.

Se você perceber a cada comprimento de arco o raio diminui em uma razão de um meio, podemos fazer uma relação para sequências posteriores, temos:

Comprimento de arco = An = 2 πRq. Onde q é nossa razão de valor igual a 1/2Testando os valores:

A1 = 2. π.1.(1/2) => π. A2 = 2. π.(1/2).(1/2) => π/2

E com a mesma fórmula de recorrência podemos calcular os enésimos termos. Recorrendo ao somatório infinito:

Sn = A1/(1-q) => π/(1-(1/2)) => 2 π.

Espero ter ajudado!