Ponto e Reta
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Ponto e Reta
por Pedro Flávio Sex Jul 09 2021, 11:57
(UF-MT) No gráfico abaixo, o ponto A tem coordenada (3, 0), os pontos B e C estão, respectivamente, sobre a reta y=2 e y=4 e o ponto A pertence à reta que passa por B e C.
A partir dessas informações, pode-se afirmar que as coordenadas dos pontos B e C, tais que a soma dos quadrados das medidas dos segmentos OB e BC seja mínima, são, respectivamente:
a) (-3/2, 2) e (-1, 4)
b) (2/3, 2) e (0, 4)
c) (3/2, 2)e (0, 4)
d) (2, 2) e (1, 4)
e) (1, 2) e (-1, 4)
Gab: C
Podem me ajudar com a resolução dessa questão ?
Obrigado!
A partir dessas informações, pode-se afirmar que as coordenadas dos pontos B e C, tais que a soma dos quadrados das medidas dos segmentos OB e BC seja mínima, são, respectivamente:
a) (-3/2, 2) e (-1, 4)
b) (2/3, 2) e (0, 4)
c) (3/2, 2)e (0, 4)
d) (2, 2) e (1, 4)
e) (1, 2) e (-1, 4)
Gab: C
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Pedro Flávio- Iniciante
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Re: Ponto e Reta
por SilverBladeII Sáb Jul 10 2021, 01:01
OB é mediana de OAC em relação a AC. Então é resultado conhecido que
4OB²=2(OA²+OC²)-AC².
Mas AC²=4BC². Portanto
OB²+BC²=(OA²+OC²)/2
Ora, OA é constante, então OB²+BC² terá o menor valor quando OC² tiver o menor valor possivel, e isso ocorrerá quando OC for perpendicular à y=4, ou seja, C=(0, 4). Terminaê
4OB²=2(OA²+OC²)-AC².
Mas AC²=4BC². Portanto
OB²+BC²=(OA²+OC²)/2
Ora, OA é constante, então OB²+BC² terá o menor valor quando OC² tiver o menor valor possivel, e isso ocorrerá quando OC for perpendicular à y=4, ou seja, C=(0, 4). Terminaê
SilverBladeII- Matador
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Re: Ponto e Reta
por Pedro Flávio Seg Jul 12 2021, 09:52
Muito obrigado por responder, amigo. Mas, não entendi algumas coisas... por que OB é mediana? E esta equação 4OB²=2(OA²+OC²)-AC² , como você chegou até ela? É alguma relação conhecida? Não consegui identificar.SilverBladeII escreveu:OB é mediana de OAC em relação a AC. Então é resultado conhecido que
4OB²=2(OA²+OC²)-AC².
Mas AC²=4BC². Portanto
OB²+BC²=(OA²+OC²)/2
Ora, OA é constante, então OB²+BC² terá o menor valor quando OC² tiver o menor valor possivel, e isso ocorrerá quando OC for perpendicular à y=4, ou seja, C=(0, 4). Terminaê
Pedro Flávio- Iniciante
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Re: Ponto e Reta
por SilverBladeII Seg Jul 12 2021, 14:03
aplica o teorema de tales. A distancia entre as retas paralelas é a mesma, então B vai ser ponto médio de AC.
Esse resultado sobre a mediana, que é conhecido, vem de um resultado mais geral, conhecido como "teorema da cevaiana qualquer", ou ainda "teorema de stewart"
Esse resultado sobre a mediana, que é conhecido, vem de um resultado mais geral, conhecido como "teorema da cevaiana qualquer", ou ainda "teorema de stewart"
SilverBladeII- Matador
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