Números Primos

por LucasNaval Seg Abr 12 2021, 09:59

A soma dos algarismos do número natural n que é igual ao produto dos números Primos p, q, r, sabendo que r - q = 2p e rq + p² = 676 é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Gabarito: B)

por **Elcioschin** Seg Abr 12 2021, 10:24

n = p.q.r

r - q = 2.p ---> q = r - 2.p ---> I

r.q + p² = 676 ---> II

Obs.: p, q, r são ímpares

I em II ---> r.(r - 2.p) + p² = 676 ---> p² - 2.r.p + r² - 676 = 0 ---> Raízes: p = r ± 26 ---> III

III em I ---> q = r - 2.(r ± 26) ---> q = ± 26 - r ---> IV

II ---> r.(±26 - r) + (r ± 26)² = 676 ---> Tente completar

por Carolzita Lisboa Seg Abr 12 2021, 15:17

Se garante!

por LucasNaval Ter Abr 13 2021, 09:12

Elcioschin escreveu:n = p.q.r

r - q = 2.p ---> q = r - 2.p ---> I

r.q + p² = 676 ---> II

Obs.: p, q, r são ímpares

I em II ---> r.(r - 2.p) + p² = 676 ---> p² - 2.r.p + r² - 276 = 0 ---> Raizes: p = r ± 13 ---> III

III em I ---> q = r - 2.(r ± 13) ---> q = ± 26 - r ---> IV

II ---> r.(±26 - r) + (r ± 13)² = 676 ---> Tente completar

Mestre, não consegui completar, avancei até:

±26r ± 26r + 169 = 676

Tenho uma dúvida: o ±13 e o ±26 terão sempre sinais opostos? No caso "III em I", o r ± 13 foi multiplicado por -2, nesse caso, os dois ±26r se cancelariam e r seria do conjunto vazio, certo?

por **SilverBladeII** Ter Abr 13 2021, 19:47

[latex]\begin{align*}
&r-q=2p\\
\implies & r^2+q^2-2rq=4p^2\\
\implies & (r+q)^2=4(rq+p^2)=4\cdot 676\\
\implies & r+q = 52\\
\implies & p+q = 26
\end{align*}[/latex]

Se [latex]p\neq 3[/latex], então
[latex]p^2+rq\equiv 1+rq \equiv 676\equiv 1 \pmod{3}[/latex]
então
[latex]rq \equiv 0 \pmod{3}[/latex]
Então algum entre r e q é 3, mas então o outro deve ser 52-3=49, o que é um absurdo. Portanto, p=3, e então [latex]q=23[/latex] [latex]r=29[/latex]. Esse valores satisfazem todas as equações, então temos o que queríamos.
Assim, n=3*23*29=2001, e o gabarito é 3.

por LucasNaval Qua Abr 14 2021, 09:51

SilverBladeII escreveu:[latex]\begin{align*}
&r-q=2p\\
\implies & r^2+q^2-2rq=4p^2\\
\implies & (r+q)^2=4(rq+p^2)=4\cdot 676\\
\implies & r+q = 52\\
\implies & p+q = 26
\end{align*}[/latex]

Se [latex]p\neq 3[/latex], então
[latex]p^2+rq\equiv 1+rq \equiv 676\equiv 1 \pmod{3}[/latex]
então
[latex]rq \equiv 0 \pmod{3}[/latex]
Então algum entre r e q é 3, mas então o outro deve ser 52-3=49, o que é um absurdo. Portanto, p=3, e então [latex]q=23[/latex] [latex]r=29[/latex]. Esse valores satisfazem todas as equações, então temos o que queríamos.
Assim, n=3*23*29=2001, e o gabarito é 3.

Muito obrigdo pela resolução, mas eu não entendi o porquê de p² + rq ser congruente a 1 + rq

por **SilverBladeII** Qua Abr 14 2021, 18:06

LucasNaval escreveu:Muito obrigdo pela resolução, mas eu não entendi o porquê de p² + rq ser congruente a 1 + rq

Todo quadrado perfeito é congruente a 1 ou 0 módulo 3. Como p é primo diferente de 3, então p não é multiplo de 3 e portanto p² é 1 mod 3

por LucasNaval Sex Abr 23 2021, 19:50

SilverBladeII escreveu:
LucasNaval escreveu:Muito obrigdo pela resolução, mas eu não entendi o porquê de p² + rq ser congruente a 1 + rq
Todo quadrado perfeito é congruente a 1 ou 0 módulo 3. Como p é primo diferente de 3, então p não é multiplo de 3 e portanto p² é 1 mod 3

Entendi agora, muito obrigado