Geometria Plana-Triângulo

por AspiraDedeu Dom 14 Mar 2021, 13:33

No triângulo QBC, AB=20, AC=21 e BC=29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que
BD=8 e EC=9. A medida do ângulo DAE, em graus, é igual a:
a) 30
b) 40
c) 45
d) 60
e) 75

GABARITO:

por **Elcioschin** Dom 14 Mar 2021, 14:54

DE = BC - BD - CE ---> DE = 29 - 8 - 9 ---> DE = 12

Lei dos cossenos:

∆ ABC ---> AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cosB ---> Calcule cosB
∆ ABC ---> AB² = AC² + BC² - 2.AC.BC.cosC ---> Calcule cosC

∆ ABD ---> AD² = AB² + BD² - 2.AB.BD.cosB ---> Calcule AD
∆ ACE ---> AE² = AC² + CE² - 2.AC.CE.cosC ---> Calcule AE

∆ DAE --> DE² = AD² + AE² - 2.AD.AE.cosDÂE ---> Calcule cosDÂE e DÂE

por AspiraDedeu Dom 14 Mar 2021, 15:21

Mestre, não há outro método para chegar na resolução dessa questão, pois esse método dos cossenos é muito longo para se aplicar em um prova.

Resolução conforme o supracitado: OBS:TIVE QUE APROXIMAR UM MONTE DE COISA

cosB=20/29 cosC=400/609 AD=√244(aprox) AE=√274(aprox)

cosDÂE=374/516=0,724 mais proximo de 0,70=cos45 0,76=cos40

Desde já agradeço a resposta e resolução @Elcioschin

por **Elcioschin** Dom 14 Mar 2021, 16:59

Sugiro não aproximar deixando AD e AE em função de raiz.
Acredito que no final muita coisa vai cancelar pois as alternativa são ângulos exatos.

Outra opção é usar a Lei dos senos, mas vai dar mais trabalho ainda.

por Nickds12 Dom 14 Mar 2021, 17:20

Essa questão é olímpica. Vai ter que haver aproximações. Como o triângulo ABC não é isósceles, recomendo seguir a proporção de CE e BD na hora de dividir ED.

Depois encontre a altura de EAD e faça lei dos cossenos

No meu caso, fiz assim:

12^2 = 15.64^2+15.9585^2-2*15.9585*15.64*cosDAE
2*15.9585*15.64*cosDAE= 15.64^2+15.9585^2 - 144

cosDAE= (15.64^2+15.9585^2 - 144)/(2*15.9585*15.64) ~ 0,711

Muito próximo do cosseno de 45º.

por **Medeiros** Dom 14 Mar 2021, 17:28

outro modo.

obs:
devido pouco espaço para escrever, reduzi o desenvolvimento ao considerar a soma dos ângulos internos nos triângulos citados. Só isto.

por **Medeiros** Dom 14 Mar 2021, 17:34

percebo agora que a conta fica mais fácil ainda.
considere o triângulo ADE.
soma dos âng. internos: 3θ + phi + xsi = 180º
mas, do ângulo reto do triâng. ABC, temos: θ + phi +xsi = 90º -----> phi + xsi = 90º - θ
levando na eq. anterior:
3θ + 90º - θ = 180º -----> θ = 45º