ângulo entre duas partículas em mruv

Duas partículas, A e B, percorrem, respectivamente, os lados
AB e BC do triângulo retângulo na figura no mesmo intervalo
de tempo. Sabendo que ambas as partículas partem do
repouso com acelerações constantes e que o tempo
necessário para que a distância entre elas seja mínima é uma
fração k do tempo total do movimento, determine o ângulo
θ.



 

resposta:

ou se alguém tiver alguma ideia de como começar e que pensamento ter pra resolver

Sejam aB e aC as acelerações nos ramos AB e AVC, respectivamente

Seja AB = d --> A = d.senθ

AB = (1/2).aB.T² ---> d = (1/2).aB.T² --> I
AC = (1/2).AC.T² ---> d.senθ =(1/2).aC.T² ---> II

I/II ---> 1/senθ = aB/aC ---> aC = aB.senθ ---> 

Seja x a distância entre ambas, após um tempo t, em que P é ponto em AB e Q o ponto em AC:

AP = (1/2).aB.t²
AQ = (1/2).aC.t² ---> AQ =  (1/2).(aB.senθ).t² ---> AQ = AP.senθ

Lei dos cossenos

x² = AP² + AQ² - 2.AP.AQ.cos(90º - θ) ---> 

x²  = AP² + (AP.senθ)² - 2.AP.(AP.senθ).senθ

x² = AP² + (AP.senθ)² - 2.AP².sen²θ)

x² = AP² - AP².sen²θ -> x²= AP².(1 - sen²θ) ---> x = AP.cosθ

k = t/T


Tente completar

AB = x

BC/AB = cosθ
BC = xcosθ

Distância percorrida por A:
at²/2

Distância percorrida por B:
a_bt²/2

at²/2 = x
t = √(2x/a)

a_bt²/2 = xcosθ
t = √(2xcosθ/a_b)

Como os tempos são iguais para percorrer AB e BC:
√(2x/a) = √(2xcosθ/a_b)
a_b = acosθ

Agora você pode fazer uma lei dos cossenos utilizando do mesmo raciocínio do Elcioschin:
Lado do triângulo referente à partícula B:
a_bt²/2 = 
(acosθt²/2)

Lado do triângulo referente à partícula A:
(x - at²/2) (Note que o lado do triângulo é a distância que falta para a partícula A percorrer)

d² = (x - at²/2)² + (acosθt²/2)² - 2(x - at²/2)(acosθt²/2)cosθ
d² = x² - axt² + a²t⁴/4 + a²cos²θt⁴/4 + (at² - 2x)(acos²θt²/2)
d² = x² - axt² + a²t⁴/4 + a²cos²θt⁴/4 + a²t⁴cos²θ/2 - axcos²θt²
d² = a²t⁴/4 + 3a²cos²θt⁴/4 - axcos²θt² - axt² + x²
d² = t⁴((a² + 3a²cos²θ)/4) - t²(axcos²θ + ax) + x²
d² =  t⁴(a²(1 + 3cos²θ)/4) - t²(ax(1 + cos²θ)) + x²

Vou substituir t² por y, para que se torne uma função quadrática:
d² =  y²(a²(1 + 3cos²θ)/4) - y(ax(1 + cos²θ)) + x²

Essa é uma função de d², mas se acharmos o tempo para o qual d² é mínimo, esse valor de t corresponderá ao tempo para qual d é mínimo, pois o menor valor de d² ocorre quando d é mínimo.

Valor mínimo = y do vértice = t_mínimo²

y_v = -b/2a
y_v = ax(1 + cos²θ)/2(a²(1 + 3cos²θ)/4)
y_v = 2ax(1 + cos²θ)/(a²(1 + 3cos²θ)
y_v = 2x(1 + cos²θ)/(a(1 + 3cos²θ))


t_m² = y_v
t_m² = 2x(1 + cos²θ)/(a(1 + 3cos²θ))
t_m = √(2x(1 + cos²θ)/(a(1 + 3cos²θ)))

t_m = t_total*k

√(2x(1 + cos²θ)/(a(1 + 3cos²θ))) = k√(2x/a)
(1 + cos²θ)/(1 + 3cos²θ) = k²
k² + 3k²cos²θ = 1 + cos²θ
cos²θ(3k² - 1) = 1 - k²
cos²θ = (1 - k²)/(3k² - 1)
cosθ = √(1 - k²)/(3k² - 1)  (Como o ângulo é agudo, o cosseno é positivo)

Resposta:
arccos √(1 - k²)/(3k² - 1)

consegui entender! obrigado pelas ideias de raciocínio e resoluções!