Propriedade de Cofator - Matriz e Determinante ITA
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Propriedade de Cofator - Matriz e Determinante ITA
por Luciano Augusto Dom 20 Dez 2020, 16:21
(Q38-ITA/1988) Seja A uma matriz quadrada inversível, de ordem 3. Seja B a matriz dos cofatores da matriz A. Sabendo-se que detA= - 2, calcule detB.
Resolução:
Se A é inversível e B=cofA, então detB=det(cof A) = (det A)^(n-1).
Como detA=-2 e n=3, temos detB=(-2)^(2)=4
Estudei sobre matrizes e determinantes mas não encontro essa definição de det(cof A) = (det A)^(n-1). Alguem pode me explicar de onde essa definição vem? obrigado!
Resolução:
Se A é inversível e B=cofA, então detB=det(cof A) = (det A)^(n-1).
Como detA=-2 e n=3, temos detB=(-2)^(2)=4
Estudei sobre matrizes e determinantes mas não encontro essa definição de det(cof A) = (det A)^(n-1). Alguem pode me explicar de onde essa definição vem? obrigado!
Luciano Augusto- Recebeu o sabre de luz
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Re: Propriedade de Cofator - Matriz e Determinante ITA
por al171 Sáb 27 Ago 2022, 21:17
Sabendo que \( B \) é a matriz dos cofatores da matriz \(A\),
\[
A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} \cdot B^t = \lambda \cdot B^t
\]
Aplicando o operador \(\mathrm{det}\) na equação:
\[
\mathrm{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} = \mathrm{det} \left(\lambda B^t \right) = \lambda^n \cdot \mathrm{det}(B^t)
\]
Como \( \lambda = \frac{1}{\mathrm{det}(A)}\):
\[
\mathrm{det} (B^t) = \frac{\mathrm{det}^n(A)}{\mathrm{det}(A)} = \mathrm{det}^{n-1} (A)
\]
\[
A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} \cdot B^t = \lambda \cdot B^t
\]
Aplicando o operador \(\mathrm{det}\) na equação:
\[
\mathrm{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} = \mathrm{det} \left(\lambda B^t \right) = \lambda^n \cdot \mathrm{det}(B^t)
\]
Como \( \lambda = \frac{1}{\mathrm{det}(A)}\):
\[
\mathrm{det} (B^t) = \frac{\mathrm{det}^n(A)}{\mathrm{det}(A)} = \mathrm{det}^{n-1} (A)
\]
al171- Fera
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