Questão sobre Fatorial

Calcule o valor da expressão [latex]\varepsilon = 3.1! - 4.2 + 5.3! - ... + (n+2).n![/latex], sendo n um número natural ímpar.

Os n-1 primeiros termos dessa soma formam (n-1)/2 pares de termos, sempre um positivo somando com um negativo. Escrevendo o termo geral de um desses pares, temos:

(k+2)k! - (k+3)(k+1)!

Note que,
fazendo k = 1, tem-se as duas primeiras parcelas da soma: 3.1! - 4.2!
fazendo k = 3, tem-se as duas parcelas seguintes da soma: 5.3! - 6.4!
...
etc.
Note que o último par ocorrerá para k = n-2. Depois disso, só faltará somar o termo que ficou sozinho: (n+2)n!.

Reescrevendo o termo geral dos pares mencionados:
(k+2)k! - (k+3)(k+1)!
k!(k + 2 - (k+3)(k+1))
k!(-k² - 3k - 1)
-k!(k² + 3k + 1)
-k![(k+2)(k+1) - 1]
k! - (k+2)!

Agora fica fácil perceber que os termos se cancelam:
k = 1 ........ 1! - 3!
k = 3 ........ 3! - 5!
k = 5 ........ 5! - 7!
k = 7 ........ 7! - 9!
...
k = n-2 ... (n-2)! - n!

Somando tudo, só restará 1 - n!. Ainda falta computar o termo que ficou sozinho: (n+2)n!.

1 - n! + (n+2)n!
n!(n+2 - 1) + 1

A resposta é (n+1)! + 1.