MHS Posição em X e Y

(UFMS) As coordenadas ortogonais dos elétrons, na tela de um osciloscópio em qualquer instante (t), são dadas por x = Acos (wt) e y = Bcos (wt + f), onde A, B, w e f são constantes. É correto afirmar que: 


(01) se f = 0, a trajetória dos elétrons será retilínea. 
(02) a trajetória dos elétrons será parabólica, qualquer que seja o valor de f. 
(04) se f = 90º e A = B, a trajetória dos elétrons será uma circunferência. 
(08) a trajetória dos elétrons será retilínea, qualquer que seja o valor de f. 
(16) o movimento dos elétrons será restrito a uma região de área AB.


[SPOILER] [/01, 04 e 16]


Prezados, não consigo visualizar com clareza o movimento dos elétrons considerando essa função. Alguém saberia alguma forma prática/lógica de solucionar?








Pensei em algo como um elétron em movimento harmônico simples na vertical e ao mesmo tempo na horizontal. Temos na 1 que que: 





Afinal, eles tem a mesma velocidade e a Y inicia o movimento em B. Na representação acima, o eixo seria o ponto de 90° e 270°. Enfim, se seguir essa lógica, a 4 não tem sentido, pois o ângulo de Y só interferirá na posição inicial do movimento. Desde já agradeço

Olá PedroFagundes!
Equações desse tipo formam as famosas curvas de Lissajous, e no geral são bem difíceis de descrever. Para o caso da questão, em que o ômega w é o mesmo para x e para y, a curva fica um 'pouquinho' mais fácil de analisar. Veja: 

[latex]\\y=B\cos\left (wt+f \right )=B\cos\left (wt \right )\cos\left (f \right )-B\sin\left (wt \right )\sin\left (f \right )\\\\ \rightarrow y=B\frac{x}{A}\cos\left (f \right )-B\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}\sin\left (f \right )\\\\ \rightarrow \sqrt{A^2-x^2}\sin\left (f \right )=x\cos\left (f \right )-\frac{A}{B}y\\\\ \xrightarrow[]{()^2}A^2\sin^2(f)-x^2\sin^2(f)=x^2\cos^2(f)+\frac{A^2}{B^2}y^2-2\frac{A}{B}xy\cos\left (f \right )\\\\ \rightarrow \boxed{x^2+\frac{A^2}{B^2}y^2-2\frac{A}{B}xy\cos\left (f \right )=A^2\sin^2(f)}[/latex]

Essa é uma equação que irá representar uma elipse ou uma elipse degenerada (um ponto) para cos(f) ≠ 0. Quando cos(f) = 0, ela poderá representar tanto uma parábola, quanto uma parábola degenerada (uma reta). Não entrarei em detalhes de como cheguei nessas conclusões e nem analisarei mais profundamente a equação, pois acredito que foge do escopo da questão. Na verdade, não é necessário entender o movimento geral para fazer a questão. Veja:

(01) Se f = 0:

 x = Acos(wt) e y = Bcos(wt) → (x/A)² + (y/B)² = 1 (elípse)      (F)

(02) (F) (acabamos de provar no item anterior que para f = 0 a trajetória é elíptica)

(04) se f = 90º e A = B:

x = Acos(wt) e  y = Acos(wt + 90°) = -Asen(wt) → (x/A)² + (-y/A)² = 1 → x² + y² = A² (circunferência de raio A e centro (0,0))  (V)

(08) (F) (provamos no primeiro item que para f = 0 a trajetória é elíptica)

(16) (F) , pois -A ≤ x ≤ A e -B ≤ y ≤ B, de modo que os elétrons estão restritos em um retângulo de lados 2A e 2B, com área 4AB.

Acredito, portanto, que o gabarito apresentado esteja incorreto.