números primos

Olimpíada Canguru de Matemática 2019 - Nível S - Questão 26

Para quantos inteiros n o número [latex]\left | n^2 -2n - 3 \right |[/latex] é primo?


Resposta: 4

Achei 3 mas não consegui provar:

n = - 2 ---> |(-2)² - 2.(-2) - 3| = 5
n = 2 -----> |2² - 2.2 - 3| = 3
n = 4 -----> |4² - 2.4 - 3| = 5

Temos que:

|n² - 2n - 3| = { n² - 2n - 3 se > 0 ou - n² + 2n + 3 se < 0}

Considerando que |n² - 2n - 3| = n² -2n - 3, temos:

n² - 2n - 3 = n² - 2n + 1 - 4 = (n - 1)² - 2² = (n - 3) . (n + 1)

Aqui temos 2 casos possíveis:

(n - 3) > 0 e (n + 1) > 0 ----> n > 3 (i)

ou

(n - 3) < 0 e (n + 1) < 0 ----> n < - 1 (ii)

n > 3 ou n < - 1

Pra que a expressão acima seja primo, pelo menos um dos fatores deve ser 1 ou - 1 para o caso (ii)

Se n - 3 = 1 ----> n = 4

Jogando na expressão, (4 - 3) . (4 + 1) = 5 <---- solução


Se n + 1 = 1, então n = 0. Nesse caso não temos solução pois n > 3

Caso (ii)

Se (n + 1) = - 1 ---> n = - 2

Jogando na expressão:

(- 2 - 3) . (-2 + 1) = - 5 . (-1) = 5 <--- Solução

Segundo caso:

|n² - 2n - 3| = - n² + 2n + 3

- n² + 2n + 3 = - (n² - 2n - 3) = - (n - 3) . (n + 1) = (3 - n) . (n + 1)

3 - n > 0 e n + 1 > 0, então 3 > n > -1 (i)

ou

3 - n < 0 e n + 1 < 0, então n > 3 e n < - 1  <---- Impossível

Como no caso anterior vamos igualar um dos fatores a 1

3 - n = 1 ----> 2 = n

Testando:

(3 - 2) . (2 + 1) = 3 <--- solução

Se n + 1 = 1 --> n = 0

(3 - 0)(0 + 1) = 3 <--- solução

Soluções:

n = {0, 4, 2, - 2}