quantica

Olá Jorge. Vou deduzir a equação para revisar o conteúdo, se quiser pular direto para resposta não tem problema.

NO começo do século XX, ninguém sabia explicar o espectro de emissão dos átomos. Empiricamente, um professor de ensino médio deduziu uma equação que fornece os valores da emissão, ou absorção, do átomo de hidrogênio em determinadas faixas de comprimento de onda. Essa equação depende das posições finais e iniciais do elétron, que são os n da sua questão. Mas que fórmula é essa?


Vamos começar com Rutherford. Rutherford percebeu que a carga positiva do átomo concentrava-se inteiramente e unicamente no núcleo, como consequência, os elétrons só podiam orbitar o núcleo. Niels Bohr achou isso lindo, um modelo atômico que se parece com modelo planetário. Ficou fissurado com a ideia e tentou explicar os diversos paradoxos gerado por essa ideia.


O fato do modelo dele ter ganho tanto credibilidade vem do fato dele ter partido de princípios físicos teóricos, e chegado, teoricamente, a equação experimental que citei a cima. Até mesmo, encontrou para a constante da equação, conhecido como constante de Rydberg, um valor muito próximo do valor experimental.

Niels Bohr começou postulando que o momento angular do elétron é quantizado, apenas supos inicialmente.Como já aprendemos com ele e também sabemos de algumas coisas que ele não sabia na época, vamos deduzir a equação de um modo diferente, apenas provando o que ele postulou.

Vamos então, usar as ideias do francês Louis de Broglie. Ele mostrou que a matéria também tem o comportamento dual. Olha a consequência disso:


Primeiro, vamos olhar para a relação massa-energia:  E=mC².
Agora, vamos olhar para a quantização dessa energia: E=hf.


Então, podemos deduzir o seguinte:  [latex]mC^2=\frac{hC}{\lambda }\Rightarrow \lambda =\frac{h}{mC}[/latex]

Vamos assumir que isso é válido também para matéria se movendo com velocidade V constante, a equação se torna [latex]\lambda =\frac{h}{mV}[/latex].

Usando a teoria do De Broglie, vamos representar o elétron como uma onda em torno do núcleo:



O fato da energia ser quantizada, implica que temos comprimentos de ondas inteiros para o elétron, então, considerando toda órbita:

[latex]n\lambda =2\pi r[/latex]

Substituindo lambda na equação de De Broglie e substituindo na de cima:

[latex]\frac{nh}{mv} =2\pi r[/latex]

Por fim, isolando o momento angular:

[latex]mvr=\frac{nh}{2\pi }[/latex]

Provamos usando a teoria ondulatória, o postulado inicial de Bohr, a partir dele vamos deduzir a equação de Rydberg:

Para o elétron não cair no núcleo, precisamos de um equilíbrio de forças, de modo que, a força de atração nuclear tem mesmo módulo, direção e sentido oposto a força centrífuga.

Então:



[latex]\frac{KZe^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\Rightarrow v^2=\frac{KZe^2}{rm}[/latex]

Agora, a energia do elétron é a soma da energia cinética com a energia potencial, lembrando que a energia potencial é negativa por tratar-se de atração.

E=Ec+Ep

[latex]E=\frac{mv^2}{2}-\frac{kZe^2}{r}[/latex]

Substituindo v da equação ali em cima:

[latex]E=\frac{KmZe^2}{2rm}-\frac{kZe^2}{r}=-\frac{KZe^2}{2r}[/latex]

Temos a energia do elétron dependendo de r, não temos muita informação a respeito de r, queremos equacionar em função de n, para isso usamos a quantização do momento angular:

[latex]mvr=\frac{nh}{2\pi }\Rightarrow v=\frac{nh}{2\pi mr}[/latex]

Agora, colocando esse valor de v na equação do v² em cima, obtemos:


[latex]\frac{n^2h^2}{4\pi ^2m^2r^2}=\frac{kZe^2}{mr}\Rightarrow r=\frac{n^2h^2}{4\pi ^2mkZe^2}[/latex]

Agora, substituindo r na equação da energia: [latex]E=-\frac{2\pi ^2k^2me^4}{n^2h^2}[/latex] ( k=1 para H ).

Agora, o que acontece quando o elétron está em uma órbita e salta para outra? Ele varia sua energia, certo? Então, por fim, equacionamos em cima do fenômeno:

[latex]\Delta E=E_2 -E_1=-\frac{2\pi ^2mZ^2e^4}{n_{2}^{2}h^2}+\frac{2\pi ^2mZ^2e^4}{n_{1}^{2}h^2}[/latex]

[latex]\frac{hc}{\lambda }=-\frac{2\pi ^2mZ^2e^4}{n_{2}^{2}h^2}+\frac{2\pi ^2mZ^2e^4}{n_{1}^{2}h^2}[/latex]

[latex]\frac{1}{\lambda }=\frac{2\pi 2mZ^2e^4}{h^2}(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}})[/latex]

[latex]\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}})[/latex]

Usando o valor do enunciado e a constante de Rydberg:

[latex]\frac{1}{4055\cdot 10^{-9} }=1,097\cdot 10^7\cdot (\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}})[/latex]

NOTA: 4,055 nm ou 4055 nm? 4,055 nm é emissão de raio x, o hidrogênio não tem emissão nessa faixa,nem absorção. Primeiro que ele não é capaz de absorver tanta energia, pois com essa energia o elétron ioniza e a equação perde o sentido, segundo, ele não pode emitir essa energia, pois essa energia vem da energia potencial negativa, quando o elétron aproxima do núcleo ele emite, para uma emissão nessa magnitude a carga nuclear [olhe a expressão da energia potencial], tem que ser bem maior que isso, ou seja, ele não é radioativo.

Supondo 4055 nm, essa faixa corresponde a série de Brackett, para esse série, n1=4, então, equacionamos para achar n2:


[latex]\frac{1}{4055\cdot 10^{-9} }=1,097\cdot 10^7\cdot (\frac{1}{16}-\frac{1}{n_{2}^{2}})\Rightarrow n_2\approx 5[/latex]


É isso. Esse tipo de problema, você sempre deve saber que um valor de n vem do conhecimento das séries. Aqui fala de todas, inclusive, pode checar a resposta: https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_spectral_series