Física Quântica

Em um experimento sobre um efeito fotoelétrico é observado que, para um comprimento de onda da luz de 500nm, um potencial de corte de 0,25V é necessário para cortar a corrente de fotoelétrons, enquanto em um comprimento de onda de 0,375nm, um potencial de 1V é necessário. Calcule a razão h/e entre a constante de Planck e a carga elementar.

Vamos buscar uma expressão que relacione o potencial de corte U e o comprimento de onda λ. Antes disso, precisamos compreender o experimento e conceituar o potencial de corte.
O efeito fotoelétrico gera a movimentação organizada de elétrons (provenientes de uma chapa metálica) dentro de um tubo onde foi feito vácuo. A figura ilustra o fenômeno.

Estabelecida a corrente de fotoelétrons, deve-se aplicar um campo elétrico E, de sentido oposto à corrente convencional (e portanto igual ao do movimento real dos elétrons) a fim de fazer com que cada elétron que parte de um lado do tubo (emitter plate) chegue ao lado oposto (collector plate) com energia cinética nula. Tal campo elétrico será obtido por meio de uma bateria convenientemente orientada.

No entanto, medir o campo E não é tão interessante quanto lidar com a ddp U gerada por ele no interior do tubo. Essa tensão, a mínima necessária para fazer cessar a corrente, é denominada tensão de corte ou simplesmente potencial de corte e depende unicamente do metal utilizado e da natureza (frequência) da radiação incidente. (Na ilustração, utilizou-se luz azul, mas poderia ter sido outra; há uma frequência mínima para cada metal.)
Agora, considerando estabelecido o campo E no tubo, vamos analisar o movimento de um único fotoelétron, adotando o subscrito A para a placa emissora e B para a receptora. 
Sendo E um campo conservativo, aplicamos a conservação da energia:
E_C_A + E_P_A = E_C_B + E_P_B
O elétron chega em B já no repouso, portanto:
\\ E_C_A + E_P_A=E_P_B \Rightarrow E_C_A+ qV_A = qV_B \Rightarrow \\E_C_A = q(V_B-V_A)=-e(V_B-V_A)\Rightarrow E_C_A=e(V_A-V_B)
A ddp entre A e B é, por definição, o potencial de corte.
\boxed{E_C_A=eU}\,\text{(I)}
Sendo W a função trabalho do metal estudado, a equação do efeito fotoelétrico diz:
hf = W+E_C_{max}\,\text{(II)}
Como a pretensão é fazer cessar por completo a corrente, o elétron analisado deve ser precisamente aquele emitido com energia cinética máxima. Assim, unimos as equações I e II e, tendo em vista a relação c =λf, teremos:
\frac{hc}{\lambda}=W+eU
O experimento é realizado sob duas circunstâncias diferentes, fazendo-se variar U e λ. A relação acima é válida para ambos os casos.
Portanto, isolaremos W, que é um valor desconhecido:
W= \frac{hc}{\lambda}-eU
Sendo W uma constante que depende apenas da natureza do metal da placa emissora, podemos igualar a sua expressão para as duas situações:
 \\ \frac{hc}{\lambda_1}-eU_1= \frac{hc}{\lambda_2}-eU_2 \Rightarrow \frac{hc}{\lambda_1}-\frac{hc}{\lambda_2}=eU_1-eU_2 \Rightarrow hc\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right )=e(U_1-U_2)\\ \therefore \boxed{\frac{h}{e}=\frac{(U_1-U_2)\lambda_1\lambda_2}{c(\lambda_2-\lambda_1)}}
Sendo: U1 = 0,25 V; λ1 = 500 nm = 5,00 . 10^-7 m; U2 = 1 V, λ2 = 375 nm = 3,75 . 10^-7 m, teremos:
\frac{h}{e}\approx 3,8\cdot10^{-15}\,J\cdot s \cdot C^{-1}