Romênia - Ângulo de 90º

(Romênia) Sejam ABC um triângulo isósceles com AB = AC, D o ponto médio de BC, M o ponto médio de AD e N a projeção de D sobre BM. Prove que ∠ANC = 90◦ .

Olá, uma prova é por analítica:


[latex]Como\, \, \,  N \in \, \, \overline{BM}\Rightarrow N=\lambda M+(1-\lambda)B=\lambda (1,a)+(1-\lambda)(2,0)[/latex]

[latex] \Rightarrow N=(2-\lambda,\lambda a)[/latex]

[latex]Vamos\, \, \, \overline{DN}\perp \overline{MB}\Rightarrow \overrightarrow{DN}.\overrightarrow{MB}=0[/latex]

[latex](N-D).(B-M)=0\Rightarrow (1-\lambda,\lambda a ).(-1,a)=0\Rightarrow \lambda-1+\lambda a^2=0[/latex]

[latex]\Rightarrow \lambda=\frac{1}{a^2+1}[/latex]

[latex]Se \, \, \overline{AN}\perp \overline{NC} . Devemos\: \:   provar:\, \,  \overrightarrow{CN}.\overrightarrow{AN}=0[/latex]

[latex]\overrightarrow{CN}.\overrightarrow{AN}=(N-C).(N-A)=(2-\lambda,\lambda a ).(1-\lambda,\lambda a-2a)[/latex]

[latex]\Rightarrow \overrightarrow{CN}.\overrightarrow{AN}=\frac{1}{a^2+1}(a^2,-2a^3-a).(2a^2+1,a)[/latex]

[latex]\Rightarrow \overrightarrow{CN}.\overrightarrow{AN} = \frac{2a^4+a^2-2a^4-a^2}{a^2+1}[/latex]

[latex]\Rightarrow \overrightarrow{CN}.\overrightarrow{AN} = 0[/latex]

Está provado.

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