(Suécia) Funções: compostas e inversas

por Kaese9 Ter 25 Fev 2020, 23:02

Sejam a e b números reais e seja f(x)=1/(a.x+b).
Para quais a e b existem 3 números reais distintos x1, x2, x3, tais que f(x1)=x2, f(x2)=x3 e f(x3)=x1?

Gab: Sem gabarito

por **Elcioschin** Qua 26 Fev 2020, 11:28

Qual é o denominador? É apenas a.x ou é (a.x + b).
Se for (a.x + b) deveria ter sido colocado entre parênteses

por Kaese9 Qua 26 Fev 2020, 11:36

Tem razão, Elcio, o correto seria "1/(a.x+b)". Acabo de corrigi-lo. Obrigado!

por **Elcioschin** Qua 26 Fev 2020, 12:19

Vou começar:

f(x1) = x2 ---> 1/(a.x1 + b) = x2 ---> a.x1.x2 + b.x2 = 1 ---> I

f(x2) = x3 ---> 1/(a.x2 + b) = x3 ---> a.x2.x3 + b.x3 = 1 ---> II

f(x3) = x1 ---> 1/(a.x3 + b) = x1 ---> a.x1.x3 + b.x1 = 1 ---> III

I = II ---> a.x1.x2 + b.x2 = a.x2.x3 + b.x3 ---> a.x2.(x1 - x3) = b.(x3 - x2)

a/b = (x3 - x2)/x2.(x1 - x3) ---> x1 ≠ x3

Faça o mesmo para I = III e II = III

Depois tente resolver o sistema

por Kaese9 Qua 26 Fev 2020, 13:05

Consegui entender perfeitamente até aí! mas ainda não consegui encontrar "a" ou "b".
Igualando II=I, II=III e III=, isolei a/b para os três casos.
Tentei igualar os 3 valores de a/b, como por exemplo:
(x2-x1)/[x1(x3-x2)]=(x3-x2)/[x2(x1-x3)]
e então isolei x1/x2. Mas, ainda tô sem ideia de como prosseguir. Não consegui resolver o sistema que o senhor disse

por Cobas Seg 20 Fev 2023, 15:37

encontrei como resposta a=-b², b≠0
Substituindo os valores de x1 e x3, encontra-se: 1/ax2-b/a= (ax2+b)/[a+b(ax2+b)]
(nesse caso eu optei por x2, mas a relação é valida para x1 e x3 também)
Ajeitando as frações e multiplicando cruzado, obtém-se:
a+b²-x²ab²-b³x=a²x²+abx
(coloquei x para poupar espaço, mas, novamente, x1 x2 e x3 validam a relação)
Passando todos os termos pro mesmo lado da igualdade, obtém-se:
a+b²-x²(ab²+a²)-x(b³+ab)=0

Como essa expressão SEMPRE tem de ser verdadeira independente do valor de x, tem-se que
a+b²=0
x²(ab²+a²)=0
x(b³+ab)=0
Note que todas as igualdades resultam em a=-b²
Porém, é fácil notar que se b = 0, x1=x2=x3

obs. sei que a pergunta foi feita há dois anos, mas é um problema instrutivo e não encontrei soluções dele na internet, por isso achei prudente responder.

por Cobas Seg 20 Fev 2023, 15:38

encontrei como resposta a=-b², b≠0
Substituindo os valores de x1 e x3, encontra-se: 1/ax2-b/a= (ax2+b)/[a+b(ax2+b)]
(nesse caso eu optei por x2, mas a relação é valida para x1 e x3 também)
Ajeitando as frações e multiplicando cruzado, obtém-se:
a+b²-x²ab²-b³x=a²x²+abx
(coloquei x para poupar espaço, mas, novamente, x1 x2 e x3 validam a relação)
Passando todos os termos pro mesmo lado da igualdade, obtém-se:
a+b²-x²(ab²+a²)-x(b³+ab)=0

Como essa expressão SEMPRE tem de ser verdadeira independente do valor de x, tem-se que
a+b²=0
x²(ab²+a²)=0
x(b³+ab)=0
Note que todas as igualdades resultam em a=-b²
Porém, é fácil notar que se b = 0, x1=x2=x3

obs. sei que a pergunta foi feita há dois anos, mas é um problema instrutivo e não encontrei soluções dele na internet, por isso achei prudente responder.