Geometria Plana - ajuda

Em um quadrilátero ABCD, AB=5, BC//AD, BC=2 e a medida do ângulo ABC é o dobro da medida do ângulo ADC. A medida AD é:
a) 4
b) 5
c) 7
d) 10
e) 12

AD = 7 .........(c)

chegando em casa, consigo desenhar e responder.

O quadrilátero é um trapézio

Seja BÂD = θ ---> ABC = 180º - θ

A^BC = 2.A^DC ---> 180º - θ = 2.A^DC ---> A^DC = 90º - θ/2 

B^CD = 180º - A^DC --> B^CD = 180º - (90º - θ/2) --->
B^CD = 90º + θ/2

Sejam B' e C' os pés das perpendiculares de B e C sobre AD. 

BCC'D é um retângulo: B'C' = BC = 2 ---> BB' = CC' = altura do trapézio

 A^BB' = A^BC - 90º ---> A^BB' = (180º - θ) - 90º ---> A^BB' = 90º - θ 

D^CC' = B^CD - 90º ---> D^CC' = (90º + θ/2) - 90º ---> D^CC'= θ/2 

Agora basta usar relações trigonométricas: por exemplo AB' = AB.cosθ 

Tente continuar

em preto, os dados do enunciado.
em azul, nossa resolução.


seja  \angle ADC = \theta , então \angle ABC = 2.\theta

prolongamos AB e DC até encontrarem-se em E.

\angle CBE = 180 - 2.\theta  (ângulo suplementar)
AD // BC ==>  \angle BCE = \angle ADC = \theta  (ângulos colaterais, transversal DE cortada por duas paralelas)

no ∆BCE
θ + 180° - 2.θ + \angle BEC = 180°  ----->  \angle BEC = θ
.:  ∆BCE é isósceles  ----->  BE = BC = 2

mas  ∆ADE  também é isósceles pois  \angle AED = \angle ADE = \theta  ==>  AD = AE
AD = AB + BE  ----->  AD = 5 + 2  ----->  AD = 7


observação: com certeza o quadrilátero é um trapézio pois tem dois lados paralelos; se o ângulo θ for θ=60°, então o trapézio será isósceles -- e os triângulos que usamos para suporte da resolução serão equiláteros.

Muito obrigado, Medeiros e Elcioschin