Número de partidas em um torneio de tênis
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Número de partidas em um torneio de tênis
por Giovannigvm Seg 22 Jul 2019, 20:13
Essa questão surgiu na minha cabeça, espero que alguém me dê uma luz...
A ideia surge de uma questão do ENEM 2018, que começa assim:
Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª fase o torneio conta com competidores, então na 2ª fase restarão competidores, e assim sucessivamente até a partida final.
Quero saber quantas partidas serão disputadas para qualquer número de competidores (n, por exemplo). De forma meio empírica eu sei que a cada partida um jogador é derrotado e para haver um campeão é preciso que apenas um jogador não seja derrotado. Logo, n-1 partidas devem ser disputadas.
Mas não sei demonstrar isso matematicamente. Imagino que deve ser possível. Alguém consegue?
Obrigado.
A ideia surge de uma questão do ENEM 2018, que começa assim:
Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª fase o torneio conta com competidores, então na 2ª fase restarão competidores, e assim sucessivamente até a partida final.
Quero saber quantas partidas serão disputadas para qualquer número de competidores (n, por exemplo). De forma meio empírica eu sei que a cada partida um jogador é derrotado e para haver um campeão é preciso que apenas um jogador não seja derrotado. Logo, n-1 partidas devem ser disputadas.
Mas não sei demonstrar isso matematicamente. Imagino que deve ser possível. Alguém consegue?
Obrigado.
Giovannigvm- Iniciante
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Re: Número de partidas em um torneio de tênis
por Vitor Ahcor Seg 22 Jul 2019, 21:17
Final (2 jogadores): 1 jogo (a1)
Semi-Final (4 jogadores): 2 jogos (a2)
Quartas de final (8 jogadores): 4 jogos (a3)
...
...
...
Primeira rodada (n jogadores): n/2 jogos (ak)
Calculemos k
a_k = a_1\times q^k^-^1\Rightarrow n/2 = 1\times 2^k^-^1
\therefore k = \log_2n
Você busca a1+a2+a3+...+ak , certo? Ora, trata-se de uma PG de razão 2; a1=1 de k termos. Portanto:
S_n = \frac{a_1\times (q^k -1)}{q-1}\Rightarrow S_n = \frac{1\times (n-1)}{2-1} = n-1.
Semi-Final (4 jogadores): 2 jogos (a2)
Quartas de final (8 jogadores): 4 jogos (a3)
...
...
...
Primeira rodada (n jogadores): n/2 jogos (ak)
Calculemos k
Você busca a1+a2+a3+...+ak , certo? Ora, trata-se de uma PG de razão 2; a1=1 de k termos. Portanto:
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