Progressão Geométrica e Trigonometria

por pennyworth Ter 25 Jun 2019, 12:23

Se (1 - sen x, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x < \frac{\pi}{2} é uma progressão geométrica, cos 3x é igual a:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 0,5
e) 2

Obrigado.

por **Elcioschin** Ter 25 Jun 2019, 13:06

a2^2 = a1.a3

(1 - cosx)^2 = (1 - senx). (1 + senx)

Complete.

por pennyworth Qua 26 Jun 2019, 11:38

Consegui resolver!
Aqui está a minha resolução completa:
PG: Qualquer termo, a partir do segundo, é igual a média geométrica de seus vizinhos.
Assim:
a_{1} = a_{2}/q
a_{3} = a_{2}.q
a_{1}.a_{3} = a_{2}/q.a_{2}.q
a_{1}.a_{3} = a^{2}_{2}
Então:
(1 - cos x)^{2} = (1 - sen x)(1+ sen x)
1 - 2.cosx + cos^{2}x = 1 - sen^{2}x
1 - 2.cosx + sen^{2}x + cos^{2}x = 1
Como sen²x + cos²x = 1:
1 - 2cosx + 1 = 1
-2cosx = -1
2cosx = 1
cosx = \frac{1}{2}
Agora, para descobrir o valor de cos3x:
Pela fórmula da soma de arcos, temos que: cos (a + b) = cosa.cosb - sena.senb
sen (a + b) = sena.cosb + senb.cosa
cos (3x) = cos (2x + x)
cos (2x + x) = cos2x.cosx - sen2x.senx
cos (2x + x) = [cos (x + x)].cosx - [sen (x + x)].senx
cos (2x + x) = (cosx.cosx - sen x.senx).cos x - (senx.cosx + senx.cosx).senx
cos (2x + x) = cos^{3}x - sen^{2}x.cosx - sen^{2}x.cosx - sen^{2}x.cosx
Como

sen²x + cos^{2}x = 1 \rightarrow sen^{2}x = 1 - cos^{2}x
cos (2x + x) = cos^{3}x - (1 - cos^{2}x).cosx - (1 - cos^{2}x).cosx - (1 - cos^{2}x).cosx
cos (2x + x) = cos^{3}x - cosx + cos^{3}x - cosx + cos^{3}x - cosx + cos^{3}x
cos (3x) = 4cos^{3}x - 3cosx
Como
cosx = \frac{1}{2}:
cos (3x) = 4.\frac{1}{2}^{3} - 3.\frac{1}{2}
cos (3x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}
cos (3x) = -\frac{2}{2}
cos (3x) = -1

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