Limite trigonométrico.

por **Leo Consoli** Qua 09 Jan 2019, 18:52

Calcule o seguinte limite:
$Limite trigonométrico. Gif$

Gabarito:

por **Giovana Martins** Qua 09 Jan 2019, 22:15

Não sei fazer sem ser pelo Teorema de L'Hôpital.

\\\lim_{x\to 0}\frac{tg^4(x)}{[1-sec(bx)]^2}=\lim_{x\to 0}\frac{sen^4(ax)cos^2(bx)}{cos^4(ax)[cos(bx)-1]^2}=\left [\lim_{x\to 0}\frac{sen^2(ax)}{cos(bx)-1} \right ]^2\underset{1}{\underbrace{\lim_{x\to 0}\frac{cos^2(bx)}{cos^4(ax)}}}\\\\\lim_{x\to 0}\frac{tg^4(x)}{[1-sec(bx)]^2}=\left [\lim_{x\to 0}\frac{sen^2(ax)}{cos(bx)-1} \right ]^2=\underset{\mathrm{L'H\hat{o}pital\ 2X}}{\underbrace{\left \{ \lim_{x\to 0}\frac{\left [sen^2(ax) \right ]'}{[cos(bx)-1]'} \right \}^2}}\\\\\therefore \ \lim_{x\to 0}\frac{tg^4(x)}{[1-sec(bx)]^2}=\left \{ -\lim_{x\to 0}\frac{2a^2cos(2ax)}{b^2cos(bx)} \right \}^2=\boxed {\frac{4a^4}{b^4}}

Confira os cálculos.

por **Giovana Martins** Qua 09 Jan 2019, 22:21

Um adendo, limites não podem ser calculados de forma parcial igual eu fiz, ou seja, mesmo sabendo que aquele limite (que eu deixei indicado como sendo 1) daria 1, eu deveria ter carregado aquela expressão até o momento no qual eu iria fazer a substituição direta pelo valor para o qual x está tendendo. Na resolução, eu já fiz aquele limite valer 1, pois o Codecogs impõe um "limite de caracteres", o qual estava me impedindo de digitar todo o código porque o mesmo estava muito longo, daí optei por economizar na escrita ao fazer aquele fator ser 1 antes mesmo de eu fazer a substituição direta.

por **Leo Consoli** Qui 10 Jan 2019, 00:08

Obrigado, achei também outra resolução:
$Limite trigonométrico. Gif$
Usando:
$Limite trigonométrico. Gif$
Chega-se a:
$Limite trigonométrico. Gif$

por **Leo Consoli** Qui 10 Jan 2019, 00:23

Outra resolução: Para x pequenos, tangente de x~x e
secx=1/cosx~1/((1-x^2)/2)~(1+x^2)/2, logo o numerador é assintoto para a^4x^4 e o denominador é assintoto para (b^4x^4)/4, logo a razão se aproxima de 4a^4/b^4.