Limite trigonométrico.

por Baudelaire Qua 14 Set 2016, 11:23

Já tentei de todas as formas resolver esse limite e só consegui por L'Hospital. Meu professor tirou por Séries de Taylor. Quero saber de que forma posso usar uma combinação direta pra resolvê-lo.
Observação: Já tentei por algumas relações trigonométricas e nada.
Observação 2: Já tentei pelo teorema do confronto também.

A conclusão que cheguei é que deve existir alguma ferramenta que não conheço ou não lembro que simplifique esse limite.
Por isso decidi expor aqui e colher a opinião de vocês.

limx→0(senx−x)/x³

por **Giovana Martins** Sex 15 Fev 2019, 14:02

Deixo dois jeitos de se resolver este limite. Sem ser por esses métodos, eu realmente não tenho ideia de como se resolve.

Por Séries de Taylor.

\\\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\frac{0}{0}\\\\\mathrm{Pela\ S{e}'ries\ de\ Taylor:}\\\\sen(x)=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+...\approx x-\frac{1}{6}x^3\\\\\therefore \ \lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+x-\frac{1}{6}x^3}{x^3} \right ]=\lim_{x\to 0}\left [ -\frac{x^3}{6x^3} \right ]\\\\\therefore \ \lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=-\lim_{x\to 0}\left [ \frac{1}{6} \right ]\to \boxed {\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=-\frac{1}{6}}

Pelo Teorema de L'Hôpital:

\\\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\frac{0}{0}\\\\\therefore \ \lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\lim_{x\to 0}\left \{ \frac{[-x+sen(x)]'}{(x^3)'} \right \}=\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-1+cos(x)}{3x^2} \right ] \\\\\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-1+cos(x)}{3x^2} \right ]=\frac{0}{0}\\\\\therefore \ \lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\lim_{x\to 0}\left \{ \frac{[-1+cos(x)]'}{(3x^2)'} \right \}=-\lim_{x\to 0}\left [\frac{sen(x)}{6x} \right ]\\\\-\lim_{x\to 0}\left [\frac{sen(x)}{6x} \right ]=\frac{0}{0}\\\\\therefore \ \lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=-\lim_{x\to 0}\left \{ \frac{[sen(x)]'}{(6x)'} \right \}=-\lim_{x\to 0}\left [ \frac{cos(x)}{6} \right ]=-\frac{1}{6}\\\\\boxed {\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=-\frac{1}{6}}

por **Giovana Martins** Sex 15 Fev 2019, 18:37

\\\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]\\\\x=3t\ \therefore \ x\to 0,t\to 0\ \therefore \ \lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-3t+sen(3t)}{27t^3} \right ]\\\\\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-3t+sen(3t)}{27t^3} \right ]=\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-3t+3sen(t)-4sen^3(t)}{27t^3} \right ]\\\\\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-3t+sen(3t)}{27t^3} \right ]=\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-t+sen(t)}{9t^3} \right ]-\lim_{t\to 0}\left [ \frac{4sen^3(t)}{27t^3} \right ]\\\\\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-3t+sen(3t)}{27t^3} \right ]=\frac{1}{9}\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-t+sen(t)}{t^3} \right ]-\frac{4}{27}\underset{1}{\underbrace{\lim_{t\to 0}\left [ \frac{sen^3(t)}{t^3} \right ]}}\\\\\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-3t+sen(3t)}{27t^3} \right ]=\frac{1}{9}\underset{M}{\underbrace{\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-t+sen(t)}{t^3} \right ]}}-\frac{4}{27}

Vou calcular M separadamente.

\\t=x\ \therefore \ t\to 0,x\to 0\\\\ \therefore \ M=\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-t+sen(t)}{t^3} \right ]=\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]

Daí, vem:

\\\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-3t+sen(3t)}{27t^3} \right ]=\frac{1}{9}\underset{M}{\underbrace{\lim_{t\to 0}\left [ \frac{-t+sen(t)}{t^3} \right ]}}-\frac{4}{27}\\\\\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=\frac{1}{9}\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]-\frac{4}{27}\\\\ \frac{8}{9}\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=-\frac{4}{27}\to \boxed {\lim_{x\to 0}\left [ \frac{-x+sen(x)}{x^3} \right ]=-\frac{1}{6}}