(OBF 2018, Terceira fase) Mecânica

Suponha que em um jogo de bilhar um jogador consiga dar tacadas com impulso de mesma intensidade J e sempre na direção horizontal (paralelo ao plano da mesa). O jogador está interessado em dois tipos de tacada. A tacada frontal é aquela na qual o taco está alinhado com o centro de massa da bola. Na tacada de "raspão" a colisão do taco com a bola se dá no ponto mais alto da bola. Sejam vf e vr, respectivamente, as velocidades após as tacadas frontal e "de raspão", determina a razão vf/vr imediatamente após as tacadas supondo que as bolas rolam sem escorregar.

Para a solução desse problema, será necessário conhecimento sobre impulso angular. Segundo o enunciado, é necessário admitir, embora seja incorreto, que as esferas saem em rolamento perfeito. Dessa forma, a aceleração no ponto de baixo apontará para o centro de massa da bola (aceleração centrípeta) e portanto podemos escrever que:
\vec{r} \times \Delta \vec{p} = \Delta \vec{L} 
em que \vec{r} é o vetor que aponta do ponto da tacada ao ponto de contato.

Dessa forma, como \vec{J}=\Delta \vec{p}  e na primeira situação \vec{r}=-R\hat{j}  enquanto na segunda \vec{r} = -2R\hat{j} encontramos 
I_{f}\omega_{f}=-JR
I_{r}\omega_{r}= -2JR.
porém os corpos rotacionam em torno do mesmo ponto nas duas situações, o que sugere I_{f}=I_{r}=\frac{7}{5}mR^{2} e portanto \omega_{r}=2\omega{f}.Como o rolamento é perfeito: \frac{v_{f}}{v_{r}}=\frac{1}{2}.