Produtório de cossenos

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 15:28

Relembrando a primeira mensagem :

Demonstre a igualdade abaixo.

cos\left ( \frac{\pi }{2n+1} \right )cos\left ( \frac{2\pi }{2n+1} \right )cos\left ( \frac{3\pi }{2n+1} \right )._{...}.cos\left ( \frac{n\pi }{2n+1} \right )=\frac{1}{2^n}

por **Giovana Martins** Sáb 28 Jul 2018, 21:38

Entendido. Obrigada.

por **fantecele** Seg 10 Dez 2018, 15:14

Irei colocar uma resolução diferente dessa presente na Eureka.
Primeiro irei mostrar que:
$\\1+cis(\theta)=2.cos\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cis\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

$\\1+cis(\theta)=1+cos(\theta)+i.sen(\theta)\\1+cis(\theta)=2.cos^2\left ( \frac{\theta}{2} \right )+i.2.sen\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )\\\\1+cis(\theta)=2.cos\left ( \frac{\theta}{2} \right ).\left ( cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )+isen\left ( \frac{\theta}{2} \right ) \right )\\1+cis(\theta)=2.cos\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cis\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

Agora vamos para o exercício:

$\\z^{2n+1}-1=\prod_{k=0}^{2n}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\(z-1)(z^0+z^1+z^2+...+z^{2n})=\prod_{k=0}^{2n}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\(z^0+z^1+z^2+...+z^{2n})=\prod_{k=1}^{2n}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\z=-1\\1=\prod_{k=1}^{2n}\left ( -1-cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )$
$\\1=(-1)^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left ( 1+cis\left ( \frac{2k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\1=\prod_{k=1}^{2n}\left ( 2.cos\left ( \frac{2k\pi}{2.(2n+1)} \right ).cis\left ( \frac{2k\pi}{2.(2n+1)} \right ) \right )\\1=\prod_{k=1}^{2n}\left ( 2.cos\left ( \frac{k\pi}{(2n+1)} \right ).cis\left ( \frac{k\pi}{(2n+1)} \right ) \right )\\\\1=2^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ).\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )$

$\\\\Perceba\,\,\,que\,\,\,cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right )=-cos\left ( \frac{(2n+1-k)\pi}{2n+1} \right ),\,\,\,portanto:\\\prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )=(-1)^{n}\prod_{k=n+1}^{2n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\Dessa\,\,\,forma:$

$\\\\1=2^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ).\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\\\1=2^{2n}.(-1)^{n}\left ( \prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right )^2.\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right )\\|1|=\left | 2^{2n}.(-1)^{n}\left ( \prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right )^2.\prod_{k=1}^{2n}\left ( cis\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right |\\\\1=2^{2n}.\left ( \prod_{k=1}^{n}\left ( cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right ) \right ) \right )^2$
$\\\prod_{k=1}^{n}cos\left ( \frac{k\pi}{2n+1} \right )=\frac{1}{2^n}$

Espero que esteja certo dessa forma, se deu resultado tá valendo.

Usando ideia semelhante da para encontrar o produto dos senos, basta substituir z por 1 e lembrar que:
$1-cis(\theta)=-2.i.sen\left ( \frac{\theta}{2} \right ).cis\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

por Conteúdo patrocinado

Produtório de cossenos

Produtório de cossenos

Re: Produtório de cossenos

Re: Produtório de cossenos

Re: Produtório de cossenos

Um fórum livre e democrático.