A soma de todos os possíveis números n é...

Considere um número n inteiro positivo de dois algarismos, ou seja, n =ab com b diferente de 0. Entre os dois algarismos de n colocamos o algarismo zero, obtendo assim um novo inteiro m de três algarismos, ou seja, m = a0b.
Sendo m um múltiplo de n, então a soma de todos os possíveis números n é igual a?

Resposta: 78


Como resolve?

Os algarismos representam potências de 10:

n = ab

"b" é o algarismo das unidades e "a" é o das dezenas. Se "a" = 5, esse valor representa na verdade 5 dezenas que, numericamente, são equivalentes a 5 * 10 unidades.

n = ab (graficamente) = 10a + b (numericamente)

Analogamente:

m = a0b

m = 100a + b

Já que m é múltiplo de n, sendo o fator de multiplicação igual a k, podemos escrever:

m = kn

Já que m é maior que n, podemos dizer que k > 1.

(100a + b) = k(10a + b)

100a + b = 10ka + kb

100a - 10ka = kb - b

a(100 - 10k) = b(k - 1)

já que b e k são números positivos e inteiros (k > 1), podemos afirmar que o lado esquerdo da igualdade é composto também de dois fatores positivos e inteiros, pois a é positivo e inteiro. Dessa forma, (100 - 10k) é um número positivo e inteiro.

Sabendo disso, o valor de k pode variar de 2 a 9.

a(100 - 10k) = b(k - 1)

Para k = 9:

10a = 8b

a / b  =  8 / 10 = 4 / 5

Como a e b são algarismos: a ∈ [0, 9]   e   b ∈ [1, 9]. Então temos a = 4 e b = 5, ou seja, para k = 9, encontramos n = 45.

Procedendo da mesma forma para os outros valores de k:

a(100 - 10k) = b(k - 1)

a / b  =  (k - 1) / (100 - 10k)

k = 8  -->  a / b   =   7 / 20  (impossível)

k = 7  -->  a / b   =   6 / 30 = 1 / 5  (a = 1 e b = 5, n = 15)

k = 6  -->  a / b   =   5 / 40 = 1 / 8  (a = 1 e b = 8, n = 18)

k = 5  -->  a / b   =   4 / 50 = 2 / 25 (impossível)

k = 4  -->  a / b   =   3 / 60 = 1 / 20 (impossível)

k = 3  -->  a / b   =   2 / 80 = 1 / 40 (impossível)

k = 2  -->  a / b   =   1 / 90 (impossível)

18 + 15 + 45 = 78

Bela resolução, axell13!!!

Muito obrigada!