Velocidade de um mergulhador

por Luís Sex 24 Jun 2011, 06:42

O organismo humano pode ser submetido, sem consequências danosas, a uma pressão de no máximo 4.10^5 N/m² e a uma taxa de variação de pressão de no máximo 10^4 N/m² por segundo. Nessas condições, qual a máxima velocidade de movimentação na vertical recomendada para um mergulhador?
(Dados: densidade da água = 10³ kg/m³; g = 10 m/s²; pressão atmosférica = 10^5 N/m².)

Resposta: 1 m/s

por Quasar Sáb 25 Jun 2011, 20:09

Derivando $P=P_0+\rho gH$ em relação ao tempo obtemos $dP/dt=\rho g\ dH/dt$ ,
onde dH/dt é a velocidade pedida.

$v=\frac{dP/dt}{\rho g}=10^4/10^4=1 m/s$

por Luís Dom 26 Jun 2011, 15:54

Ok, valeu Quasar! Wink

por "João Pedro BR" Seg 30 Out 2023, 16:33

Quasar escreveu:Derivando $gif.latex?P=P_0+\rho gH$ em relação ao tempo obtemos $dt$ ,
onde dH/dt é a velocidade pedida.

$s$

Como resolve sem cálculo?

por Zeroberto Seg 30 Out 2023, 19:53

Olá!

Podemos calcular a altura máxima que ele pode subir em 1 segundo. Isso já nos vai dar a velocidade.
Segundo o enunciado, o corpo humano suporta, no máximo, uma taxa de variação de pressão de $10^4 \frac{N}{m^2} $ em 1 segundo. Então, temos:

$ P = \rho g h \implies 10^4 = 10^3 . 10.h \implies \boxed{h = 1m} $

E isso já nos dá a resposta! Se ele só consegue subir 1 metro a cada segundo, então sua velocidade máxima será de 1m/s.

Complemento: algo que você poderia contestar seria uma possível aceleração, o que tornaria essa velocidade imprecisa quanto ao instante de subida. Essa possibilidade se torna inválida porque se a pessoa subir rápido demais (ou de maneira brusca), haverá uma variação muito brusca na solubilidade dos gases presentes no corpo dela. Segundo a lei de Henry:

$ S = K. P_p $, onde k é uma constante de solubilidade de cada gás e P a pressão parcial dele. Se a movimentação for muito rápida, a pressão parcial sofrerá uma variação brusca, bem como a solubilidade. E uma mudança de solubilidade muito rápida pode fazer com que bolhas de gás se formem aos montes e em tamanhos que podem entupir as veias e artérias da pessoa.
Por isso, o mais recomendado é que ela suba à velocidade constante, baixa, e com certas pausas assim que subir uma determinada altura.

Abraços!

por "João Pedro BR" Seg 30 Out 2023, 21:21

Zeroberto escreveu:Olá!

Podemos calcular a altura máxima que ele pode subir em 1 segundo. Isso já nos vai dar a velocidade.
Segundo o enunciado, o corpo humano suporta, no máximo, uma taxa de variação de pressão de $10^4 \frac{N}{m^2} $ em 1 segundo. Então, temos:

$ P = \rho g h \implies 10^4 = 10^3 . 10.h \implies \boxed{h = 1m} $

E isso já nos dá a resposta! Se ele só consegue subir 1 metro a cada segundo, então sua velocidade máxima será de 1m/s.

Complemento: algo que você poderia contestar seria uma possível aceleração, o que tornaria essa velocidade imprecisa quanto ao instante de subida. Essa possibilidade se torna inválida porque se a pessoa subir rápido demais (ou de maneira brusca), haverá uma variação muito brusca na solubilidade dos gases presentes no corpo dela. Segundo a lei de Henry:

$ S = K. P_p $, onde k é uma constante de solubilidade de cada gás e P a pressão parcial dele. Se a movimentação for muito rápida, a pressão parcial sofrerá uma variação brusca, bem como a solubilidade. E uma mudança de solubilidade muito rápida pode fazer com que bolhas de gás se formem aos montes e em tamanhos que podem entupir as veias e artérias da pessoa.
Por isso, o mais recomendado é que ela suba à velocidade constante, baixa, e com certas pausas assim que subir uma determinada altura.

Abraços!

O que eu questiono na sua resolução é que ela ignora a pressão da atmosfera, de modo a só considerar a pressão efetiva do líquido, e não a pressão absoluta. Entretanto, não faço ideia de como se pode obter h em função da pressão da atmosfera, num formato desta espécie: p = patm + dgh.

por Zeroberto Seg 30 Out 2023, 21:29

Mas eu não estou calculando a pressão máxima que ele irá sentir. Tampouco a pressão efetiva ou hidrostática sentida pelo corpo.
O enunciado já me disse qual é essa pressão que ele consegue suportar, então eu só calculei a altura recomendada que ele pode nadar por segundo.

A pressão atmosférica é irrelevante no cálculo que fiz justamente porque não estou calculando uma pressão. Ela eu já tenho. Eu não tenho como afirmar se o valor dado pelo enunciado corresponde a um que leva a pressão atmosférica em consideração, ou a outro que não leva. Porém, no fundo, isso não importa; apenas qual altura que o mergulhador pode nadar quando sentir uma pressão (ou que poderia chegar a sentir) como a referida pelo enunciado.

Ficou mais claro? Não sei se entendi bem sua dúvida, posso ter me confundido.

por **Giovana Martins** Seg 30 Out 2023, 21:36

Não li a resposta do colega Roberto ainda, mas vou dar uns pitacos acerca da primeira resolução (por derivadas). Uma forma de resolver sem utilizar derivadas é simplesmente utilizar a ideia de análise dimensional.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ P=P_0+\rho gH\ \therefore\ \frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{\Delta P_0}{\Delta t}+\rho g\frac{\Delta H}{\Delta t}}\\\\ \mathrm{P_0\ \acute{e}\ constante,logo,\Delta P_0=0\ \therefore\ \frac{\Delta P}{\Delta t}=\rho g\frac{\Delta H}{\Delta t}}\\\\ \mathrm{\ \ \ Por\ an\acute{a}lise\ dimensional:\left [ \frac{\Delta H}{\Delta t} \right ]=\frac{m}{s}=[v]}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ v=\frac{1}{\rho g}\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{10^4}{10^4}\ \frac{m}{s}}[/latex]

por **Giovana Martins** Seg 30 Out 2023, 21:44

Giovana Martins escreveu:
Não li a resposta do colega Roberto ainda, mas vou dar uns pitacos acerca da primeira resolução (por derivadas). Uma forma de resolver sem utilizar derivadas é simplesmente utilizar a ideia de análise dimensional.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ P=P_0+\rho gH\ \therefore\ \frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{\Delta P_0}{\Delta t}+\rho g\frac{\Delta H}{\Delta t}}\\\\ \mathrm{P_0\ \acute{e}\ constante,logo,\Delta P_0=0\ \therefore\ \frac{\Delta P}{\Delta t}=\rho g\frac{\Delta H}{\Delta t}}\\\\ \mathrm{\ \ \ Por\ an\acute{a}lise\ dimensional:\left [ \frac{\Delta H}{\Delta t} \right ]=\frac{m}{s}=[v]}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ v=\frac{1}{\rho g}\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{10^4}{10^4}\ \frac{m}{s}}[/latex]

Eu roubei um pouquinho na resolução, mas acho que dá para entender melhor sem as notações de derivadas.

Eu digo que eu roubei um pouquinho, porque no fundo o que eu fiz tem bastante a ver com derivadas. O conceito de taxa de variação é indissociável do conceito de derivadas, mas não é preciso entender derivadas para entender a ideia acerca da taxa de variação. A grosso modo, trata-se de uma grandeza variando no tempo. Eu só fiz foi escrever as contas pensando nas unidades de medida para no fim eu encontrar a grandeza que eu queria, que no caso é a velocidade. Aqui foi a situação na qual eu utilizei a análise dimensional.