Qual o prazo de carência em dias?

por Luiz 2017 Dom 21 Jan 2018, 14:21

Um financiamento de $ 200.000,00 é pago em 12 parcelas, porém com uma carência. Com base numa taxa de 5% a.m. temos que o valor das parcelas é $ 23.123,33 mensais antecipados. Qual o prazo de carência em dias?

por **Baltuilhe** Dom 21 Jan 2018, 16:54

Boa tarde!

Dados:
PV = $ 200.000,00
n = 12 parcelas (mensais)
carência = ? = k
i = 5% a.m.
PMT = $ 23.123,33 (antecipadas)

O método empregado será o de calcular o valor 'atualizado' da dívida k dias após a contração da mesma. Então, calculando:
\left.\begin{array}{l}\\\displaystyle{ PV \cdot \left( 1 + i \right) ^ { k } = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { - (n - 1) } }{ i } + 1 \right] }\\\\\displaystyle{ 200\,000 \cdot \left( 1 + 5\% \right) ^ { k } = 23\,123,33 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { - (12 - 1) } }{ 5\% } + 1 \right] }\\\\\displaystyle{ 200\,000 \cdot 1,05 ^ { k } = \overbrace{ 23\,123,33 \cdot \underbrace{ \left( \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -11 } }{ 0,05 } + 1 \right) } _ { 9,306414 } } ^ { 215\,196,29 } }\\\\\displaystyle{ 1,05 ^ { k } = \dfrac{ 215\,196,29 }{ 200\,000 } }\\\\\displaystyle{ k = \dfrac{ \log \left( \dfrac{ 215\,196,29 }{ 200\,000 } \right) }{ \log 1,05 } }\end{array}\right\}\displaystyle{ \therefore \boxed{ k \approx 1,5\text{ meses} } }

Então, terá uma carência de 1,5 meses, que é o mesmo que 45 dias.

Espero ter ajudado!

por Luiz 2017 Dom 21 Jan 2018, 17:03

Correta resposta.

por Luiz 2017 Dom 21 Jan 2018, 19:27

Como disse, está correta sua solução, mas eu usaria um caminho mais simples.

Equação geral de juros para o valor presente de série uniforme diferida:

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i \cdot (1+i)^k}

onde:

PMT = 23.123,33
i = 5% a.m.
n = 12 meses
k = c, se a série for diferida postecipada.
k = c-1, se a série for diferida antecipada.
c = período de carência = ?

Substituindo valores:

200000 = 23123,33 \cdot \frac {1-(1+0,05)^{-12}}{0,05 \cdot (1+0,05)^{c-1}}

200000 = 23123,33 \cdot \frac {0,443162581} {0,05 \cdot (1,05)^{c-1}}

(1,05)^{c-1} = \frac {23123,33 \times 0,443162581} {200000 \times 0,05}

(1,05)^{c-1} = 1,02473946

c-1 = \frac {log(1,02473946)}{log(1,05)}

c-1 = 0,500887745

c \approx 1,5\;\text{m\^{e}s.}

\boxed{c \approx 45\;\text{dias.}}