Taxa de juros capitalizada

[ltr]Uma empresa adquiriu um empréstimo no Banco BBB, cujo valor foi de R$ 350.000,00. De acordo com essa informação, responda:[/ltr]
[ltr]a) Se a taxa de juro for de 14% ao ano capitalizada mensalmente e as parcelas postecipadas iguais e consecutiva totalizam em 20, calcule o valor de cada parcela.[/ltr]
[ltr]b) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa pagar as 8 primeiras parcelas, e no ato do pagamento da nona parcela desejar quitar toda divida restante, qual o valor a ser pago?[/ltr]
[ltr]c) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa não quitar as 10 primeiras parcelas e no ato do pagamento da décima primeira desejar pagar toda a divida, calcule o valor a ser pago.[/ltr]

[ltr]d) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa quitar as doze primeiras parcelas e nesta data, ou seja, no dia que pagou a décima segunda parcela, refinanciar a divida restante em mais 12 pagamentos bimestrais, considerando uma carência de 6 meses, e a taxa do refinanciamento for de 16% ao ano, calcule o valor dessas novas parcelas. [/ltr]

JOSE AAAA escreveu:[ltr]Uma empresa adquiriu um empréstimo no Banco BBB, cujo valor foi de R$ 350.000,00. De acordo com essa informação, responda:[/ltr]


[ltr]a) Se a taxa de juro for de 14% ao ano capitalizada mensalmente e as parcelas postecipadas iguais e consecutiva totalizam em 20, calcule o valor de cada parcela.[/ltr]


[ltr]b) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa pagar as 8 primeiras parcelas, e no ato do pagamento da nona parcela desejar quitar toda divida restante, qual o valor a ser pago?[/ltr]


[ltr]c) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa não quitar as 10 primeiras parcelas e no ato do pagamento da décima primeira desejar pagar toda a divida, calcule o valor a ser pago.[/ltr]



[ltr]d) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa quitar as doze primeiras parcelas e nesta data, ou seja, no dia que pagou a décima segunda parcela, refinanciar a divida restante em mais 12 pagamentos bimestrais, considerando uma carência de 6 meses, e a taxa do refinanciamento for de 16% ao ano, calcule o valor dessas novas parcelas. [/ltr]

De acordo com as normas do fórum, se tiver o gabarito tem que postar.

JOSE AAAA escreveu:[ltr]Uma empresa adquiriu um empréstimo no Banco BBB, cujo valor foi de R$ 350.000,00. De acordo com essa informação, responda:[/ltr]



[ltr]a) Se a taxa de juro for de 14% ao ano capitalizada mensalmente e as parcelas postecipadas iguais e consecutiva totalizam em 20, calcule o valor de cada parcela.[/ltr]



[ltr]b) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa pagar as 8 primeiras parcelas, e no ato do pagamento da nona parcela desejar quitar toda divida restante, qual o valor a ser pago?[/ltr]



[ltr]c) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa não quitar as 10 primeiras parcelas e no ato do pagamento da décima primeira desejar pagar toda a divida, calcule o valor a ser pago.[/ltr]




[ltr]d) Considerando os dados apresentados na questão e na letra “a”, para o caso da empresa quitar as doze primeiras parcelas e nesta data, ou seja, no dia que pagou a décima segunda parcela, refinanciar a divida restante em mais 12 pagamentos bimestrais, considerando uma carência de 6 meses, e a taxa do refinanciamento for de 16% ao ano, calcule o valor dessas novas parcelas. [/ltr]

Bom dia!

Questão clássica de concurso!

Dados:
Empréstimo: R$ 350.000,00

a)
Taxa: 14% a.a. com capitalização mensal = \dfrac{14\%}{12} = \dfrac{7}{6}\%\text{ a.m.} \approx 1,166667\%\text{ a.m.}
Parcelas: 20

\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{350\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+\left(\dfrac{7}{6}\right)\%\right)^{-20}}{\left(\dfrac{7}{6}\right)\%}\right]}\\\\\displaystyle{350\,000\approx PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,01166667^{-20}}{0,01166667}\right)}\\\\\displaystyle{PMT\approx\dfrac{350\,000\cdot 0,01166667}{1-1,01166667^{-20}}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 19\,722,42}}

b)
Se irá quitar junto com a nona (9ª) parcela ainda terá 11 parcelas a serem pagas. Vamos atualizar essas parcelas (as 11) para o 9º período e somar à parcela normal a ser paga. Assim obteremos o que foi perguntado:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-k}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{PV\approx 19\,722,42\cdot\left(\dfrac{1-1,01166667^{-11}}{0,01166667}\right)}\\\\\displaystyle{\boxed{PV\approx 202\,497,82}}

Somando este valor à nona parcela poderá quitar por:
202.497,82+19.722,42 = 222.220,24

c)
Se não pagou 10 parcelas e irá quitar na 11º é o mesmo que atualizar a dívida para este período e pagar. Então:
\\\displaystyle{FV=PV\cdot\left(1+i\right)^k}\\\\\displaystyle{FV=350\,000\cdot\left(1+\left(\dfrac{7}{6}\right)\%\right)^{11}}\\\\\displaystyle{\boxed{FV\approx 397\,630,69}}

Se quisesse fazer de forma mais complicada, poderia ter 'atualizado' 11 parcelas de 19.722,42 (as que não pagou inicialmente) e 'antecipar' 9 parcelas de 19.722,42 para obter a mesma resposta.

d)
Primeiro, calcular o saldo devedor quando do pagamento da 12ª parcela. Depois, refinanciar em mais 12 vezes (bimestrais) sob taxa de juros de 16% a.a., com carência de 6 meses.
Saldo devedor (antecipando 8 parcelas, já que 12 já foram pagas):
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-k}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{PV\approx 19\,722,42\cdot\left(\dfrac{1-1,01166667^{-8}}{0,01166667}\right)}\\\\\displaystyle{\boxed{PV\approx 149\,808,02}}

De posse do saldo devedor, vamos refinanciar:
Taxa: 16% a.a. (vamos calcular a taxa bimestral equivalente)
\\1+i_a=(1+i_b)^6\\(1+i_b)^6=1+16\%\\i_b=\sqrt[6]{1,16}-1\\\boxed{i_b\approx 2,504516\%\text{ a.b.}}

Carência: 6 meses = 3 bimestres
Parcelas: 12 bimestralidades

Portanto:
\\\displaystyle{PV\cdot\left(1+i_b\right)^{k}=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i_b\right)^{-n}}{i_b}\right]}\\\\\displaystyle{149\,808,02\cdot\left(1+2,504516\%\right)^{3}=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,504516\%\right)^{-12}}{2,504516\%}\right]}\\\\\displaystyle{149\,808,02\cdot 1,02504516^3=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02504516^{-12}}{0,02504516}\right)}\\\\\displaystyle{PMT=\dfrac{149\,808,02\cdot 1,02504516^3\cdot 0,02504516}{1-1,02504516^{-12}}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 15\,733,51}}

Espero ter ajudado!