Raizes de um Complexo

por Victor Luz Ter 07 Nov 2017, 19:09

Uma das raízes de ordem 6 de um número complexo é -2. Determine as outras raízes de ordem 6 desse número.

Se puder, explique da forma mais detalhada possível pois não sei por onde começar.

Senhores, o gabarito é 2 ou 1+i√3 ou -1+i√3 ou -2 ou 1-i√3

por evandronunes Ter 07 Nov 2017, 21:29

Se -2 é uma raiz de ordem 6 de um número complexo z, então \sqrt[6]{z}=-2 \Rightarrow z=64.

A forma trigonométrica de z é 64(\cos 0 +i \sin 0).

Pela 2º Fórmula de De Moivre, temos:

w_k=\sqrt[6]{64}\left ( \cos \frac{0+2k\pi}{6} +i \sin\frac{0+2k\pi}{6}\right ) \Rightarrow

w_k=2\left ( \cos \frac{k\pi}{3} +i \sin\frac{k\pi}{3}\right ), com k \in \left \{0, 1, 2, 3, 4, 5 \right \}.

Logo, suas raízes são:

w_0=2\left ( \cos 0 +i \sin 0\right ) = 2

w_1=2\left ( \cos \frac{\pi}{3} +i \sin\frac{\pi}{3}\right ) = 2\left ( \frac{1}{2} +i \frac{\sqrt{3}}{2}\right )= 1+i\sqrt{3}

w_2=2\left ( \cos \frac{2\pi}{3} +i \sin\frac{2\pi}{3}\right ) = 2\left (- \frac{1}{2} +i \frac{\sqrt{3}}{2}\right )= -1+i\sqrt{3}

w_3=2\left ( \cos \pi +i \sin\pi\right ) = -2

w_4=2\left ( \cos \frac{4\pi}{3} +i \sin\frac{4\pi}{3}\right ) = 2\left ( -\frac{1}{2} -i \frac{\sqrt{3}}{2}\right )= -1-i\sqrt{3}

w_5=2\left ( \cos \frac{5\pi}{3} +i \sin\frac{5\pi}{3}\right ) = 2\left ( \frac{1}{2} -i \frac{\sqrt{3}}{2}\right )= 1-i\sqrt{3}

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