Cargas se aproximando

Duas cargas pontuais de mesmo sinal q1 e q2 e massas m1 e m2 movimentam-se uma em direção a outra. Em um determinado momento, quando a distância entre as cargas é igual a r1 elas tem velocidade v1 e v2. A que distância minima r2 aproximar-se-ão as cargas ?

Força de repulsão entre as cargas, quando estão distantes r1:

F = k*q1*q2/r1² ----> F = m*a

Para a carga q1 ----> m1*a1 = k*q1*q2/r1² ----> a1 = k*q1*q2/m1*r1²

Para a carga q2 ----> m2*a2 = k*q1*q2/r1² ----> a2 = k*q1*q2/m2*r1²

Distância d1 percorrida por q1 até parar ---> 0² = V1² - 2*a1*d1 ---> d1 = V1²/2*a1 --->

d1 = V1²*m1*r1²/2*k*q1*q2

Distância d1 percorrida por q2 até parar ---> 0² = V2² - 2*a2*d2 ---> d2 = V2²/2*a2 --->

d1 = V2²*m2*r1²/2*k*q1*q2

r2 = r1 - d1 - d2

Tenho, entretanto uma ressalva: a medida que a distância entre elas vai diminuindo a força de repulsão vai aumentando. Logo, não podemos supor força constante.
Neste caso o problema só pode ser resolvido com cálculo integral.

A questão considera que a força irá variar durante a aproximação, entretanto o professor que me propos essa questão afirmou que é possivel resolver essa questão sem utilizar cálculo ( utilizando apenas impulso e conservação de energia).

Cumprimentos, Victor M.

Seria isto ?

Energia potencial de cada carga no início ----> Ep = k*q1*q2/r1

Energia cinética das duas cargas, no início ----> Ec = m1*V1²/2 + m2*V2²/2

Energia total no início ----> Ei = 2*k*q1*q2/r1 + m1*V1²/2 + m2*V2²/2

Energia potencial de cada carga no fim ----> E'p = k*q1*q2/r2

Energia cinética das duas cargas no fim = 0 (Estão paradas)

Energia total no fim ----> Ef = 2*k*q1*q2/r2


Ef = Ei ----> 2*k*q1*q2/r2 = 2*k*q1*q2/r1 + m1*V1²/2 + m2*V2²/2

r2 = 2*k*q1*q2/(2*k*q1*q2/r1 + m1*V1²/2 + m2*V2²/2)

r2 = 4*r1*q1*q2/(4*k*q1*q2 + r1*m1*V1² + r1*m2*V2²)

Obrigado mestre Elcioschin.