Olímpiada - (parâmetro real)

por **Bruna Barreto** Dom 15 maio 2011, 23:29

Determine os valores do parametro real a para os quais a equaçao $\sqrt{x-4a+16}=2\sqrt{x-2a + 4}-\sqrt{x}$ possui raizes reais e resolva a equaçao para estes valores.

bom eu sei que raiz de a = b
logo a=b(ao quadrado)
e tb sei q b vai ser > 0
eu me enrolei na hora de fazer essa questao que caiu no meu simulado estilo ITA..por favor seje claro nos calculos.

por **abelardo** Seg 16 maio 2011, 01:16

A ''pseudo'' resposta que deixo é para acompanhar o desenrolar da questão... fiquei interessado.

O que fiz: A questão pede que primeiro determine os valores do parâmetro a para que equação tenha soluções reais, mas não consegui kk. Analisando primeiro $\dpi{120} \fn_cm \sqrt{x}$ , posso dizer, já que a questão trabalha com conjunto dos reais, que $\dpi{120} \fn_cm x\geq 0$ porque queremos a raiz ''quadrada'' de x. Assumi o menor valor para x, x=0, e fui analisar o comportamento do parâmetro ''a''...
$\dpi{120} \fn_cm \sqrt{x-4a+16}=\sqrt{0-4a+16}$

$\dpi{120} \fn_cm -4a+16\geq0$ (A mesma coisa que fiz no radicando ''x'')

$\dpi{120} \fn_cm -4a\geq-16$

$\dpi{120} \fn_cm 4a\leq 16$

$\dpi{120} \fn_cm a\leq 4$

Fazendo uma análise similar em $\dpi{120} \fn_cm \sqrt{x-2a+4}$ terei que $\dpi{120} \fn_cm a\leq2$ .

Para que alguém resolva de verdade a questão você pode alterar o título e acrescentar o nome de algum mestre do fórum... ou mandar uma mensagem para algum deles.

por **Bruna Barreto** Seg 16 maio 2011, 11:36

PO ESSA QUESTAO PARECE SER DIFICIL,CAIU NO MEU SIMULADO NESTE ULTIMO SABADO

por **abelardo** Seg 16 maio 2011, 12:25

kkkk, sabe mesmo chamar a atenção. Bem, eu acho que a minha resposta tá meia boca... testei nos wolfram, mas deu errado.

Agora ''acho'' que seja melhor você não deixar o título todo em maiúsculo.. o pessoal reclama, sabe né... regras e coisa tal.

por **Elcioschin** Seg 16 maio 2011, 12:53

\/(x - 4a + 16) = 2*\/(x - 2a + 4) - \/x ----> Elevando ao quadrado:

x - 4a + 16 = 4*(x - 2a + 4) + x - 2*\/(x² - 2ax + 4x)

2*\/(x² - 2ax + 4x) = 4x - 4a ----> Elevando ao quadrado:

4x² - 8ax + 16x = 16x² - 32ax + 16a²

12x² - 24ax - 16x + 16a² = 0

6x² - 4*(3a + 2)*x + 8a² = 0

Discriminante ----> D = 16*(3a + 2)² - 4*6*8a² ----> D = 16*(9a² + 12a + 4) - 192a² ----> :16

(9a² + 12a + 4) - 12a² >= 0 ----> 9a² + 12a + 4 - 12a² >= 0 ----> 3a² - 12a - 4 >= 0

a = (6 - 4*\/3)/3 ~= - 0,3 ----> a = (6 + 4*\/3)/3 ~= 4.3

D é uma parábola com a concavidade voltada para cima ----> a < - 0,3 ou a > 4,3

Por favor confiram as contas.

por **Bruna Barreto** Ter 17 maio 2011, 12:05

é.. eu acho q vc errou la no começo no produto notavel ( a - b)^2 la no inicio q é a^2 -2ab + b^2 ..vc esqueceu de multiplicar por 2 o ab..

por mcgiorda Ter 17 maio 2011, 15:50

$(\sqrt{x-4a+16})^{2}=(2\sqrt{x-2a+4}-\sqrt{x})^{2}\rightarrow$

$-x-4a+16=4(x-2a+4)-4(\sqrt{x-2a+4}\sqrt{x})+x\rightarrow$

$(x-a)^{2}=\sqrt{x(x-2a+4)}^{2}\rightarrow$

$x^{2}-2xa+a^{2}=x^2-2ax+4x\rightarrow$

$a^{2}=4x\rightarrow x={\color{Blue} \frac{a^{2}}{4}}$

$\LARGE S={\color{Blue} \left \{ x\: e\:\mathbb{R}: x\geq 0 \right \}}$

O parâmetro a pode ser qualquer valor pertencente aos reais.

por **Elcioschin** Ter 17 maio 2011, 19:22

mcgiorda

Obrigado pela correção: eu esquecí de multiplicar por 2 no 2º membro.

por **Bruna Barreto** Ter 17 maio 2011, 22:43

pq qualquer valor pertencentes aos reais?

por **Elcioschin** Qua 18 maio 2011, 09:15

Bruna

Agradeço a vc também por ter apontado meu erro no 2ab.

Acho que faltou o macgiorda terminar.

Ele concluiu que x = a²/4 e que x >= 0 (para \/x ser real)

O que o enunciado pede é o valor de a

Outras condições a serem satisfeitas:

1) x - 2a + 4 >= 0 ---->a²/4 - 2a + 4 >= 0

Raízes ----> a² - 8a + 16 = 0 ----> (a - 4)² = 0 ---> a = 4 (raiz dupla)

A função é uma parábola com a concavidade voltada para cima; neste caso a parábola tangencia o eixo X, logo toda a função é positiva ou nula.

2) x - 4a + 16 >= 0 ----> a²/4 - 4a + 16 >= 0

Raízes ----> a² - 16a + 64 = 0 ----> (a - 8 )² = 0 ----> a = 8 (raiz dupla)

Idem comentário anterior: a função é sempre positiva ou nula

Conclusão: Qualquer valor real de a atende

Vamos agora resolver a equação para a = 4 e a = 8:

a) Para a = 4 ----> x = a²/4 ----> x = 4²/4 ----> x = 4

b) Para a = 8 ----> x = a²/4 ----> x = 8²/4 ----> x = 16

O que vocês acham?