(Ufjf-pism 2 2016) Uma artesã fabricou um...

(Ufjf-pism 2 2016) Uma artesã fabricou um tapete bicolor formado por quadrados concêntricos. Ela começou com um quadrado preto de lado A centímetros. Em seguida, costurou tecido branco em volta do preto de forma a ter um quadrado de lado 2A concêntrico ao inicial. Continuou o processo alternando tecido preto e branco conforme a figura abaixo:

****Sabendo que ela terminou o tapete na 50ª etapa, qual foi a área, em centímetros quadrados, de tecido preto utilizada?

a)625A²
b)750A²
c)1225A²
d)1250A²
e)2500A²

Área do 1º quadrado: a²
Área da ''coroa'' branca no segundo quadrado: 4.a²-a²=3.a²
Área da coroa preta no terceiro quadrado: 9.a²-4.a²=5.a²
Área da coroa branca no quarto quadrado: 7.a²
Área da coroa preta no quinto quadrado: 25.a²-16a²=9.a²

Sobre as coroas pretas, é fácil perceber (ou melhor, vamos supor) que suas áreas estão em progressão aritmética de razão quatro.
A1=a²
A2=5.a²
A3=9.a²
.
.
.
An

 Precisamos da última coroa preta antes da quinquagésima etapa, essa última coroa está na posição de número 49, buscamos A49. Portanto, a área dessa coroa preta será a área de um quadrado de comprimento 49a, menos a área de um quadrado de comprimento 48a:

49².a²=x+48²a²
(49-48)(49+48)a²=x
x=97a²

 Como queremos todas essas áreas, buscamos o valor da soma:
S=a²+5.a²+9.a²+...+97.a²=a²(1+5+9+...+97)

Como dito anteriormente, os algarismos estão em P.A (supondo).

97=1+(n-1).4 --> n=25

S25=25(1+97)/2=1225

S=1225.a²