valor à vista

8. Um eletrodoméstico ´e vendido em três pagamentos iguais.
O primeiro pagamento ´e efetuado no ato da compra, e os
demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo 4,4% ao mês a
taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa
adquirir o bem `a vista.
Resposta: Interessa adquirir o produto `a vista por até 95,9% de
seu valor

A questão está mal formulada, mas a ideia é que pagando a vista você gasta exatamente o valor do eletrodoméstico, enquanto que, com juros simples, você recebe um desconto no valor. Porém há um acréscimo dos juros simples a ser cobrado sobre esse valor. A questão pergunta o "limite" entre ser melhor pagar a vista ou com juros ou, com outras palavras, quando que o preço cobrado a vista é igual ao cobrado com juros. Supondo que o preço a vista seja V e o preço do pago com juros, ainda sem a adição dos juros, C. Vamos calcular quanto de juros teremos que pagar em cada caso:

-caso 1 (dividido em 30 dias=1mês):
J₁=C.i.n
J₁=C.(4,4/100).1=0,044.C
Logo o preço cobrado já com os juros é: C₁=C+0,044.C=1,044.C  

-caso 2 (dividido em 60 dias=2 meses):
J₂=C.i.n
J₂=C.(4,4/100).2=0,088.C
Logo o preço cobrado já com os juros é: C₂=C+0,088.C=1,088.C

Se V=C₁:
V=1,044.C-->C=(1/1,044).V≈0,959V=95,9%V

Se V=C₂:
V=1,088.C-->C=(1/1,088).V≈0,92V=92%V

logo, quando C é maior ou igual 95,9% de V, é melhor comprar a vista. Quando C fica menor que isso, o preço C₁ (o valor C adicionado dos juros) passa a ser menor que V. O mesmo ocorre com C₂, quando C é menor que 92% de V.

Maria das GraçAS Duarte escreveu:8. Um eletrodoméstico ´e vendido em três pagamentos iguais.
O primeiro pagamento ´e efetuado no ato da compra, e os
demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo 4,4% ao mês a
taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa
adquirir o bem `a vista.
Resposta: Interessa adquirir o produto `a vista por até 95,9% de
seu valor

Olá.

Quando um fornecedor oferece um produto para ser pago em prestações mensais iguais "sem juros", o comprador pode, querendo, solicitar um desconto percentual "d" para pagamento à vista. A questão consiste, então, em se determinar qual seria o desconto mínimo a ser concedido para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o pagamento parcelado.

A este respeito faz-se as seguintes considerações:

- Seja "p" o valor nominal do produto (isto é, sem desconto) a ser dividido em "n" parcelas iguais, sem juros.

- Seja "d" o desconto percentual a ser concedido para pagamento à vista.

- Então, se haverá desconto, o valor efetivamente financiável será o resultado de: valor nominal do produto menos o desconto, isto é, (p - d*p).

- E o valor da prestação, em parcelas iguais, será p/n.

Em resumo:

PV =p-d \cdot p =(1-d) \cdot p \text{  = valor do produto efetivamente financiavel.}
PMT = p/n \text{ = valor de cada parcela.}
n = 3 \text{ = numero de parcelas em meses.}
i = 4,4\% = 0,044\; a.m. \text{ = taxa de juros.}
d \text{ = desconto percentual minimo a ser concedido.}


No presente caso a forma de pagamento é antecipada, uma vez que a primeira parcela será no ato da compra. Então a equação geral é:

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i} \cdot (1+i)
ou
PV = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1} {i \cdot (1+i)^{n-1}}

Substituindo valores:

(1-d) \cdot p = \frac {p}{n} \cdot \frac {(1+i)^n - 1} {i \cdot (1+i)^{n-1}}

1-d = \frac {(1+i)^n - 1} {n \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}}

\boxed{  d = 1 - \frac {(1+i)^n - 1} {n \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}}  }

Esta é a equação geral para o desconto na forma de pagamento antecipado.

Substituindo valores:

d = 1 - \frac {(1+0,044)^3 - 1} {3 \times 0,044 \times (1+0,044)^{3-1}}

d = 1 - \frac {(1,044)^3 - 1} {3 \times 0,044 \times (1,044)^2}

d = 1 - \frac {1,13789318 - 1} {3 \times 0,044 \times 1,089936}

d = 1 - \frac {0,137893181} {0,14387155}

d = 1 - 0,958446469

d = 0,0415535 \approx 0,0415 = 4,15/100 = 4,15\%

Ou seja, para pagamento à vista terá que haver um desconto mínimo de 4,15%.

Em outras palavras, a compra à vista só será interessante, do ponto de vista econômico, por no máximo 100 - 4,15 = 95,85% ≈  95,9% de seu valor à prazo.

obrigada