(AFA-17) Números Complexos

por Convidado Seg 19 Jun 2017, 16:19

Resolva a equação z^3-1=0 no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V ou F.

( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é 3V3/2 unidades de área
( ) Duas das raízes são conjugadas
( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo

gab: V-F-V-V

Se possivel detalhar bem, estou com dificuldade

por **Elcioschin** Seg 19 Jun 2017, 19:35

z³ = 1 ---> se z for real, existem três raízes z = 1

Se z puder ser complexo, aplicando Briott-Ruffini para a raiz z = 1:

_|1 0 0 -1
1|1 1 1 -0

Quociente = x² + x + 1 = 0 ---> Raízes complexas:

z' = - 1/2 - i.√3/2 --->módulo = 1

z' = - 1/2 + i.√3/2 --->módulo = 1

Agora é contigo

por Augusto H. Seg 19 Jun 2017, 20:10

Muito obrigado Elcio!
Estava perdido em como iniciar a questão, com a sua ajuda consegui calcular o resto.
Mas poderia me esclarecer uma coisa?
- Multiplicidade 1 é quando as raízes são distintas?
- "Todas as raízes têm o mesmo módulo" essa alternativa não estou sabendo interpretar/fazer, qual o raciocínio?

por **Elcioschin** Seg 19 Jun 2017, 20:30

Multiplicidade 1 para uma raiz x' --> só existe uma única raiz x'

Multiplicidade 2 para uma raiz x' --> Existem duas raízes x'

E assim por diante

por Augusto H. Seg 19 Jun 2017, 20:39

E quanto terem o mesmo módulo?

por **Elcioschin** Ter 20 Jun 2017, 08:58

Se uma equação tem duas raízes reais, por exemplo -1 e +1 ---> |-1| = |+1| = 1

Se a equação tem duas raízes complexas (conjugadas): z = a ± b.i

|a + b.i| = |a - b.i| = √(a² + b²)