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Números Complexos

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Mensagem por gabrielamarques Seg 20 Ago 2012, 18:00

As soluções da equação z^3 = i, onde z é um número complexo e i^2 = -1, são:
Resp.: z = +- sqrt{3}/2 + (1/2)i ou z = -i

Fiz assim: z^3 - i = z^3 + i^3 = (z+i)(x^2+zi-1) = 0
z +i = 0 => z = -1 ou
x^2+zi-1 = 0; não consigo terminar

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Mensagem por Elcioschin Seg 20 Ago 2012, 19:07

Estude Moivre

z³ = i ----> z³ = cos(pi/2) + i*sen(pi/2)

z = cos[(2kpi + pi/2)/3] + i*sen[(2kpi + pi/2)/3]

Para k = 0 ----> z1 = cos(pi/6) + i*sen(pi/6) ----> z1 = \/3/2 + i/2

Para k = 1 ----> z2 = cos(5pi6) + i*sen(5pi/6) ----> z2 = - \/3/2 + i/2

Para k = 2 ----> z3 = cos(3pi/2) + i*sen(3pi/2) ----> z3 = - i

Você cometeu um erro na sua solução. O correto é z³ + i³ = (z + i)*(z² - iz - 1)

1) z + i = 0 ----> z = - i

2) z² - iz - 1 = 0 ----> Equação do 2º grau ----> z = (i
± \/[(-i)² - 4*1*(-1)]/2 ----> z = (i ± \/3)/2 ----> z = ± \/3/2 + i/2
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Mensagem por Cfrollini Qua 31 Out 2012, 19:01

não entendi o começo da resolução, por que o ângulo é pi/2?

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Mensagem por Elcioschin Qua 31 Out 2012, 19:11

Qual é o ângulo cujo cosseno vale zero ?
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Mensagem por Cfrollini Qua 31 Out 2012, 19:13

ah sim! fiz o esquema aqui e percebi... obrigada!

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