(CN) A área máxima

(CN 1981) A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com 3 cm e 4 cm de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do retângulo sobre a hipotenusa é :

(A) 3 cm²
(B) 4 cm²
(C) 5 cm²
(D) 4,5 cm²
(E) 3,5 cm²

Acho que é isso..

GILSON TELES ROCHA escreveu:
(CN 1981) A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com 3 cm e 4 cm de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do retângulo sobre a hipotenusa é :

(A) 3 cm²
(B) 4 cm²
(C) 5 cm²
(D) 4,5 cm²
(E) 3,5 cm²

Boa noite, Gilson!

x = lado do retângulo igual a parte do cateto medindo 3 cm
y = lado do retângulo igual a parte do cateto medindo 4 cm

Os triângulos retângulos acima e ao lado do retângulo são semelhantes entre si e em relação ao triângulo retângulo original.

Relacionando os catetos do triângulo que se localiza acima do retângulo com os catetos do triângulo orginal, temos:

(3 - x)/y = 3/4

y = 4(3 - x)/3 = (12 - 4x)/3

Área do retângulo:

xy = x.(12 - 4x)/3

xy = 12.x/3 - 4.x²/3 → fazendo xy = área (A), vem:

A = -4/3 x² + 4x

O gráfico da equação supra é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de x² é negativo), indicando que a curva tem um valor máximo em seu vértice.

Calculando as coordenadas do vértice, tem-se:
Xv = -b/2a = -4/[2.(-4/3)] = -4/(-8/3) = -4 . 3/-8 = -12/-8 = 3/2 = 1,5
Av = -Δ/4a = -(4²)/[4.(-4/3)] = -16/(-16/3) = -16 . 3/-16 = 3 → no cálculo do Δ, sendo c=0, restará apenas b².

Temos, portanto, que os lados do retângulo de área máxima deverão medir:
x = 1,5 cm
y = (12 - 4x)/3 = [12 - 4(1,5)]/3 = (12 - 6)/3 = 6/3 = 2 cm

E a área máxima é igual a 3 (ordenada do vértice da parábola), ou seja:

A = xy = (1,5).2 = 3 cm²

Alternativa (A)





Um abraço.

ivomilton, você poderia postar o desenho da figura por favor?

Matheus Soares escreveu:ivomilton, você poderia postar o desenho da figura por favor?

Boa noite, Matheus.

Infelizmente não consigo desenhar e colocar a figura no site.
Então vou descrever o triângulo retângulo com o retângulo inscrito:

Trace um segmento de reta com 4 cm de comprimento, designando seus extremos com A (na extremidade esquerda) e B (na extremidade direita).
Levante uma perpendicular a partir da extremidade A com 3 cm de comprimento, designando seu extremo com a letra C.

[Estou colocando essas medidas pq sei que são possíveis e para ficar como a questão indica, mas se tiver qualquer dificuldade, apenas faça o cateto AB mais longo que o cateto AC.]

Você tem então formado um triângulo retângulo com catetos:
AC = 3 cm
AB = 4 cm

Sobre o cateto AC, a certa distância do vértice A, marque um ponto (D) e, a partir dele e para a direita, trace uma paralela à base AB, que irá encontrar a hipotenusa CB num ponto que designaremos com a letra E.

A partir de E, baixe uma perpendicular até a base AB, identificando seu encontro com ela com a letra F.

Escreva "x" sobre o segmento AD e "y" sobre o segmento AC.
Escreva "3-x" sobre o segmento CD.

Com essa figura e os cálculos que postei anteriormente, você certamente irá compreender minha resolução.





Um abraço.

Usando uma semelhança de triângulos, no triângulo grandão com o pequeno delimitado pela parte de cima do retângulo sai que:

3/3-x=4/y ⇒ y=(12-4x)/3

a área do retângulo é x.y ⇒ (12x-4x²)/3

como se trata de uma função quadrática do tipo ax²+bx+c

calculando o Xv( x do vértice) sai que= x = -b/2a ⇒ x= (-12/3)/2.(-4/3) ⇒ x= 3/2


substituindo em y=(12-4x)/3 = 2


área do retângulo 3/2 .2 = 3