Dado viciado

Olá e boa noite a todos !

As faces de um dado estão numeradas de 1a 6 de modo que a soma dos números das faces opostas é constante. Ao lançar esse dado muitas vezes sobre uma mesa e observar a face superior, João percebeu que a face 6 saía com o dobro da frequência da face 1. As outras faces saíam com a mesma frequência esperada em um dado não viciado. Assim João concluiu que o dado que  estava lançando era viciado. Com base nas observações de João, lançando esse dado sobre uma mesa, qual seria a probabilidade de sair com a face 1 voltada para baixo?

O gabarito é 2/9

p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = 1/6 ---> p(6) = 2.p(1)

p(1) + p(2) + p(3)+ p(4) + p(5) + p(6) = 1

p(1) + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 2.p(1) = 1

3.p(1) + 2/3 = 1 ---> 3.p(1) = 1/3 ---> p(1) = 1/9

p(6) = 2.p(1) ---> p(6) = 2/9

A chance de sair 1 em baixo é a mesma de sair 6 em cima ---> 2/9

Em exercícios de probabilidade eu sempre acho que dá para calcular os eventos desejados diretamente e esqueço de analisar cada possibilidade de forma mais separada. Muito obrigado pela resolução.