Área- (IME-1988)

Dado um círculo de raio R e centro O, constroem-se três círculos iguais de raio r, tangentes dois a dois, nos pontos E, F, G e tangentes interiores ao círculo dado. Determine, em função de R, a área da superfície EFG, compreendida entre os dois círculos e limitada pelos arcos EG, GF e FE.

A)

B)

C)

D)

E)


Gab: Letra A

Como os três círculos tangentes internos são idênticos, o triângulo formado por suas tangentes será equilátero, logo os 3 ângulos centrais serão de 120º e os ângulos internos formados por esse triângulo equilátero serão todos de 60º:


Através da lei dos cossenos, podemos descobrir o valor do raio R em função do raio r:







Como o raio R é o valor de l + r, temos que:







Racionalizando ao multiplicar pelo conjugado e simplificando 3/3:



Podemos então descobrir a área do triângulo equilátero, pois sabemos que:



No qual S é a área do triângulo equilátero:



Para descobrirmos então o valor da área EFG, podemos subtrair do triângulo equilátero os três setores de 60º cada:



K sendo a área de cada setor. Obtermos então a diferença entre a área do triângulo equilátero e dos três setores para encontrarmos a área EFG então:







Como já sabemos quanto vale R em função de r, podemos substituir:



LETRA A