Coordenadas do vértice da pirâmide

Em um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, os pontos A(3, 2, 5), B(5, 2, 5), C(5, 4, 5) e D(3, 4, 5) são os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 8. O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordenadas positivas, esta localizado no ponto 
a) (2, 1, 5)
b) (3, 2, 2)
c) (3, 2, 6)
d) (4, 3, 7)
e) (4, 3, 11)

Alguém pode me ajudar, fazendo um favor??

Marque os vértices num plano. Como a pirâmide é regular as arestas de sua base são congruentes, seja AD uma de suas arestas, temos:



O pé da altura é o ponto médio dos vértices da base:



Portanto, podemos concluir que a coordenada do eixo das abcissas do vértice é 4, da ordenada é 3, falta apenas o coordenada do eixo da cota, obtida calculando-se a distância do pé da base até o vértice, que é a altura calculada anteriormente:

Só explicitando matematicamente a antepenúltima linha.

√(5 - z)² = 6 -----> |5 - z| = 6
ou 5 - z = 6 -----> z = -1
ou 5 - z = -6 -----> z = 11

Como o enunciado diz que as três coordenadas são positivas, então V=(4, 3, 11).

Por que pode-se concluir que as coordenadas x e y no vértice são 4 e 3?? Mas a coordenada z só é achada quando calcula a distância?? Não entendi essa parte :/

Liliana

Trata-se de uma "pirâmide regular", ela é reta e a base é um polígono regular. Então o vértice fica perpendicularmente sobre o baricentro da base que, por esta ser um quadrado, tal baricentro (ou centro de massa, ou centro geográfico) fica no ponto médio de qualquer das diagonais.

Por outro lado, observe a cota dos pontos A, B, C e D dados, são todas iguais a 5. Isto significa que a base está no plano z = 5, paralela ao plano xOy. Assim, a altura dessa pirâmide, que é perpendicular a sua base, é paralela ao eixo Oz. Foi por isso que o William escreveu na primeira frase da sua resolução "marque os vértices [da base] num plano".

Portanto as coordenadas do vértice no plano xOy são as mesmas do centro da base: x = 4 e y = 3.

Obrigada!!!