Subespaço vetorial

por maria regina Qui 14 Abr 2011, 17:35

Oi, estou com dificuldade dificuldade neste problema alguém poderia me ajudar?

Considerando o subespaço de R^4
S = [(1, 1, -2, 4), (1,1,-1,2), (1,4,-4, Cool

.

Pq o vetor (0, 0, 1, 1) não pertence a S?

por Diogo Sex 15 Abr 2011, 12:23

Multiplicando os vetores da base pelos escalares a, b, e c a fim de, com uma combinação linear dos vetores da base, obter o suposto vetor que não pertence a S. Temos:

$\fn_cm a(1,1,-2,4)+b(1,1,-1,2)+c(1,4,-4,8 )$

Igualando ao vetor:

$\fn_cm \\a(1,1,-2,4)+b(1,1,-1,2)+c(1,4,-4,8 )=(0,0,1,1)\\\\(a,a,-2a,4a)+(b,b,-b,2b)+(c,4c,-4c,8c)=(0,0,1,1)\\\\(a+b+c,a+b+4c,-2a-b-4c,4a+2b+8c)=(0,0,1,1)$

Teremos o seguinte sistema:

$\fn_cm \left\{\begin{matrix} a + b + c = 0(I) \\ a + b + 4c= 0(II) & \\ -2a - b - 4c= 1(III) \\ 4a + 2b + 8c= 1(IV) \end{matrix}\right.$

Fazendo (I) - (II), obtemos: c=0

Substituindo c=0 nas equações (III) e (IV), vem que:

$\fn_cm \left\{\begin{matrix} -2a - b = 1 \\ 4a + 2b = 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -4a -2b = 2 (V)\\ 4a + 2b = 1 (VI) \end{matrix}\right.$

Somando (V) e (VI), temos:

0=3 (o que é um absurdo)

Logo, o sistema não possui solução, ou seja, não existem escalares que numa combinação linear resultam no vetor (0, 0, 1, 1). Assim, fica provado que esse vetor não pertence ao espaço S.

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