Conjuntos - (número de elementos)

Seja S um subconjunto de {1, 2, 3, ... , 2005} tal que não existam dois elementos de S cuja diferença seja igual a 4 ou 7. O maior número de elementos que S pode ter é igual a :
a) 910
b)913
c)915
d)918
e)920

up

(alguma dica pelo menos? Alguém já viu alguma questão parecida?)

olá,

A = { 1, 2, 3, 4,12, 13, 14, 15,....... }

5 - 1 = 4 -> não
6 - 2 = 4 -> não
7 - 3 = 4 -> não
8 - 4 = 4 -> não
9 - 2 = 7 -> não
10 - 3 = 7 -> não
11 - 4 = 7 -> não

teremos grupos de 4 números válidos seguidos de 7 números inválidos.

talvez seja por aí....

4 válidos e 7 não válidos. De cada 11, sete são válidos.
O conjunto teria no total 4/11 do número de elementos.

(4\11).2002=728

2003,2004,2005 não foram contados

731

A resposta está acima de 900...

Repare:

Seria interessante os números serem excluídos pelos dois critérios.

Exemplo: Quando se escolhe o 1 se excluem o 5 e o 8.
Quando se escolhe o 4, se excluem o 8 e o 11.

O 8 foi excluído duas vezes.
Isso é bom.

Como já exclui o 5, o 8 e o 11

Incluirei o 9, o 12 devido ao 5

Incluirei o 4 e o 15 devido ao 8

Incluirei o 7 e o 18 devido ao 11.

Como já incluí 4,7,9,12,15, e 18

Excluirei o 3 e o 14 devido ao 7
Excluirei o 2, o 13 e o 16 devido ao 9.

Excluirei o 19 e o 16 devido ao 12.

Excluirei o 21 devido ao 15.

Excluirei o 22 devido ao 18.

Até agora:

Incluídos: {1,4,7,9,12,15,18}

Excluídos: {2,3,5,8,11,13,14,16,19,21,22}

Como excluí o 13, vou incluir o 6.
Como incluí o 6, vou excluir o 10.
Como excluí o 10, vou incluir o 17

13 exlcuído e 16 excluído, 20 incluído
19 excluído e 16 excluído, 23 incluído

Incluídos: {1,4,6,7,9,12,15,18,20,23}

Excluídos: {2,3,5,8,10,11,13,14,16,17,19,21,22}

18 incluído, 25 excluído
20 incluído, 24 e 27 excluídos
22 excluído e 19 excluído, 26 incluído


Incluídos: {1,4,6,7,9,12,15,18,20,23,26}

Excluídos: {2,3,5,8,10,11,13,14,16,17,19,21,22,24,25,27}

Até agora
1 incluído (1) 2 excluídos (2,3)
1 incluído (4) 1 excluído (5)
2 incluídos (6,7) 1 excluído (
1 incluído (9) 2 excluídos (10,11)
1 incluído (12) 2 excluídos (13,14)
1 incluído (15) 2 excluídos (16,17)
1 incluídos (18) 1 excluído (19)
1 incluído (20) 2 excluídos (21,22)
1 incluído (23) 2 excluídos (24,25)
1 incluído (26)

Até o 26 são 11\26 que atendem.

(11\26)2005 = 848,26...
Será que há recorrência?

Eu também encontrei 731 como o máximo de elementos para o conjunto S. Tentei fazer a questão graficamente, então criei uma reta dos números de números inteiros
... (A imagem tá linda, não, tá aquelas tutuia). Deve haver algum técnica incomum para responder isso kkkk!







Os números de cor preta foram excluídos por causa do ''tal que'' da lei desse conjunto kk! Os de cor vermelha estão inclusos no possível conjunto S. Essa questão eu já tinha visto neste fórum, mas até agora ninguém a respondeu.

Há um erro na minha resolução!

O 21 não foi excluído pelo 15.

Quem foi excluído foi o 22!

O 23 pode ser incluído porque o 16 e o 19 estão excluídos.

O 20 pode ser incluido porque o 13 e 16 estão excluídos.

24, 27 e 30 são excluídos por 20 e 23.

26 é incluido porque 22 e 19 estão excluídos.

29 é incluído porque 22 e 25 estão excluídos.

33 é excluído pelo 26

36 é excluído pelo 29

31 é incluído pelo 24

40 é incluído pelo 36

34 é incluido pelo 27

38 e 41 são excluídos pelo 34

35 é excluído pelo 31

37 é incluido pelo 33

42 é incluído pelo 38

44 e 47 são excluídos pelo 40

45 é incluído pelo 41

46 excluído pelo 42

48 incluído pelo 41

45 exclui 49 e 52

55 excluído pelo 48
Incluídos: {1,4,7,9,12,15,18,20,23,26,29}

Incluídos: {31,34,40,42,45,48,53}

Excluídos:{2,3,5,8,11,13,14,16,19,22,24,25,27,30}

Excluídos:{33,35,36,37,38,41,44,46,47,49,52}

Não contados: {6,10,17,21,28,32,39,43,50,54,61,65,72,76,83,87,94,98,105,109,116,120,126...}

Os não contados ora somam 4 ora somam 7.

Tenho a impressão que a que recorrência aconteça no 121 em diante.

Fazendo sem explicar até o 60:



Incluídos: {1,4,7,9,12,15,18,20,23,26,29}

Incluídos: {31,34,40,42,45,48,51,53,56,59}

Excluídos:{2,3,5,8,11,13,14,16,19,22,24,25,27,30}

Excluídos:{33,35,36,37,38,41,44,46,47,49,52,55,57,58,60}

Contando com metade dos não contados: (26\60)2005=868

Já está mais próximo de 900

Reta quase sempre ajuda...hehe

Problemas chatos como esse justificam o quase.

Mas você viu meu primeiro post tentando resolver?

O caso 1,2,3,4 escolhidos é desvantajoso...

Quem sabe escolhendo apenas o 1 e o 4 não se chega a um resultado maior?


De qualquer forma, valeu pela ajuda!

Vamos ver qual a melhor opçao inicial, ou seja quais numeros possuem repetidos por exemplo o 1 e o 4 casam com o 8 entao eles sao indicados para serem colocados

1-8,5
2-9,6
3-10,7
4-11,8
5-12,9
6-13,10
7-14,11
8-15,12
9-16,13
10-17,14
11-18,15
12-19,16
13-20,17
14-21,18
15-22,19
16-23,20
17-24,21
18-25,22
19-26,23
20-27,24
21-28,25
22-29,26
23-30,27
24-31,28
25-32,29
26-33,30
27-34,31
28-35,32
29-36,33
30-37,34

s={1,4,6,7,9}
{12,15,17,18,20}
{23,26,28,29}

{31,34,37,38,39}
{42,45,47,48,50}
{53,56,58,59}


aplicando regra de 3

1980---x
30----14
x=66

logo de 1 ate 1980 temos 66 x 14=924, porem em de 1980 ate 2005 que seriam mais 11 resposta 935 alguem descobre o erro por favor