Razão entre áreas

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Razão entre áreas

Mensagem por Mathimatiká Grecca em Qui Nov 10 2016, 11:30

(CEFET-MG) A figura abaixo mostra uma semi-circunferência de centro O e diâmetro AC. Em seu interior encontram-se duas semi-circunferências de centros O1 e O2 tangentes entre si. A medida do segmento BC é um quarto da medida do segmento AC.

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A razão entre a área da circunferência de diâmetro BD e da semicircunferência de centro O é:

a) 3/8

b) 3/16

c) 5/16

d) 5/32

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Re: Razão entre áreas

Mensagem por Elcioschin em Qui Nov 10 2016, 12:59

Seja AC = 2.R ---> OA = OC = R ---> S(AC) = pi.R²/2 ---> I

Seja BC = x ---> AC = 4.x ---> AB + BC = AC ---> AB + x = 4.x ---> AB = 3.x

4.x = 2.R ---> x = R/2 

AB.BC = BD² ---> (3.x).x = BD² ---> BD² = 3.x² ---> BD = √3.x ---> BD = √3.R/2

Raio da circunferência BD ---> r = BD/2 ---> r = √3.R/4

S(BD) = pi.r² = pi.(√3.R/4)² = (3/16).pi.R² ---> II

S(BD)/S(AC) = (3/16).pi.R²/(pi.R²/2) = 3/8

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