Probleminha envolvendo derivada

por Guilherme Ozeias Batista Dom 25 Set 2016, 19:20

Um recipiente deve ser feito sobre a forma de um cilindro reto;
sua diagonal deve medir 5 dm.
Que dimensões devem ter o recipiente para garantir a máxima capacidade?

por Matemathiago Dom 25 Set 2016, 19:31

Sendo H a altura e R o raio:

(2R)² + H² = 25
4R² + H² = 25
4R² = 25 - H²
R² = (25 - H²)/4 Fiz Teo. Pitágoras para obter R em função de H

Volume de um cilindro: pi.R².H (Fórmula de volume do cilindro, para depois podermos ver quando V será maior = capacidade máxima)= pi.(25 - H²).H/4 (Substituindo a relação que obtivemos de R² em função de H, para termos somente uma variável) = (25piH-piH³)/4 (expressão simplificada)
Sendo V(H) = (25piH-piH³)/4, Vmáx ocorre quando a derivada = 0, pois nesse caso teremos um ponto relativo máximo, dado que a função que estava subindo, passa a descer a partir desse ponto). Calculando a derivada da função V(H) e igualando a zero, temos: (- 3piH² + 25pi)/4 = 0
Ou seja: -3piH² + 25pi = 0
-3H² + 25 = 0
H² = 25/3
H = 5(Raiz de 3)/3 (H não pode ser negativo)
R² = (25- 25/3)/4 = (50/3)/4
R² = 50/12
R² = 25/6
R = 5(Raiz de 6)/6

Entendeu? Em caso contrário, qual parte não ficou clara?

por Guilherme Ozeias Batista Dom 25 Set 2016, 19:33

Valeu amigo, mas o por que do uso da derivada?

a explicação, eu ainda nao entendi

por Matemathiago Dom 25 Set 2016, 19:44

Guilherme Ozeias Batista escreveu:Valeu amigo, mas o por que do uso da derivada?

a explicação, eu ainda nao entendi

Editei escrevendo em negrito o procedimento em cada passagem.

por **Medeiros** Dom 25 Set 2016, 19:55

Quando a primeira derivada de uma função é zero, a função tem nesse ponto um valor de máximo ou mínimo. Neste caso, o volume mínimo é zero -- ou seja, qualquer das dimensões altura ou raio vale zero. Assim, evidentemente, a derivada nos indicará o valor máximo.

Probleminha envolvendo derivada 309hvk9

por **Claudir** Dom 25 Set 2016, 20:05

.

$\\\\V=\pi r^2h\ \ \ (I)\\\\d^2=h^2+(2r)^2\to r^2=\frac{25-h^2}{4}\ \ \ (II)\\\\(II)\ em\ (I):\\\\V=\frac{\pi (25-h^2)h}{4}$

Obtemos uma fórmula para o volume do cilindro.
Essa fórmula é uma equação em função de h. Para obtermos o valor máximo de V, basta derivarmos e igualarmos a zero, obtendo o valor de h para o qual V é máximo:

$\\\\\frac{dV}{dh}=\frac{d}{dh}\left [ \frac{\pi (25-h^2)h}{4} \right ]=\frac{\pi}{4}[1(25-h^2)+h(-2h)]=0\\\\\to \boxed{h=\frac{5\sqrt{3}}{3}}$

por Guilherme Ozeias Batista Dom 25 Set 2016, 20:31

por que eu calculando o Y do vértice eu não acho o volume máximo?

por **Claudir** Dom 25 Set 2016, 20:37

A que vértice você se refere?

Não há uma equação do segundo grau em função de h, mas sim do terceiro grau.

Seu gráfico não é uma parábola.

por Guilherme Ozeias Batista Dom 25 Set 2016, 20:38

não posso depois de derivar? calcular Y do vértice ?

Na -3h²+25=V

por **Claudir** Dom 25 Set 2016, 20:47

Pode, claro, nada lhe impede. Mas isso não resolverá a questão.

A derivada da função lhe dará uma equação para a inclinação do gráfico da função original em determinado ponto. Ao igualar a zero você estará achando o ponto para o qual a inclinação é nula, sendo este um ponto de máximo ou mínimo.

Estes são conceitos básicos de derivada. Se estiver estudando cálculo, sugiro que revise a teoria.