Tetraedro Regular - UFRGS

A superfície total do tetraedro regular representado na figura abaixo é √9 . Os vértices do quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura. 
O perímetro do quadrilátero é (A) 4. (B) 4√2 . (C) 6. (D) 5√3 . (E) 3√6 . 


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Eu encontrei que os arestas são 3

(l²√3/4).4= 9√3
l= 3

até ai tudo ok!
Porém, na minha visão, para achar o lado do quadrado eu utilizaria a lei dos cossenos e metade das arestas e o ângulo de 60°

a² = (3/2)² + (3/2)² + 2.(3/2).(3/2).cos60°
a² = (9/4).2 + 2.(9/4).(1/2)
a²= 3.(9/4)
a= √3.3/2

Calculando o perímetro, chegaríamos a 6√3

Porém a resposta é apenas 6.

Alguém poderia me explicar o porquê do meu pensamento estar errado?

Agradeço desde já!

Vc errou um sinal na equação da lei dos cossenos, que é:
a² = b² + c² - 2*b*c*cosθ

Mas nessa questão não era necessário. Basta observar que se P e Q são pontos médios dos lados da face do tetraedro, que por ser regular tem como faces triângulos equiláteros, então PQ é um dos lados de um outro triângulo equilátero cujos lados são iguais a metade dos lados do triângulo da face do tetraedro. Por simetria, conclui-se PQRS é um quadrado. Logo, PQ = 3/2, e o perímetro do quadrilátero é:
2p = 4*PQ = 4*3/2 = 6

Oi, Mauk, como está?  
Primeiramente, muito obrigada pela ajuda! 
Segundo, eu suspeitei que estava errando algo idiota, foi em um simulado, nisso na correria eu devo ter esquecido o sinal (erro crasso) 

Gostei da sua forma de pensamento, preciso treinar mais, porque a primeira coisa que pensei foi fazer por lei dos cossenos, porque às vezes prefiro fazer por um caminho "mais braçal", mas que eu tenha segurança do que por outro que eu não visualizei bem.

Muito obrigada pela ajuda e disposição

De nada. Qualquer dúvida estou a disposição.