UnB polígonos

[size=32](UnB-DF) Considere dois polígonos regulares convexos P e P’ com n e n + 1 lados, respectivamente. Sabendo-se que a medida do ângulo interno do polígono P’ é 48° maior que a do ângulo externo (suplemento do ângulo interno adjacente) do polígono P e que a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é (n – 2) X 180º, calcule a soma dos números de lados desses dois polígonos.[/size]

Laaralawliet escreveu:[size=32](UnB-DF) Considere dois polígonos regulares convexos P e P’ com n e n + 1 lados, respectivamente. Sabendo-se que a medida do ângulo interno do polígono P’ é 48° maior que a do ângulo externo (suplemento do ângulo interno adjacente) do polígono P e que a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é (n – 2) X 180º, calcule a soma dos números de lados desses dois polígonos.[/size]

Boa tarde,

ai = medida de ângulo interno
ae = medida de ângulo externo

ai(P') = ae(P) + 48°

S(ai) = (n-2)*180

S[ai (P)] + S[(ai (P')] = ?

===================
ai = 180° - 360°/(n+1)
ae = 360°/n
===================

180° - 360°/(n+1) = 360°/n + 48°
180° - 48° = 360°/n + 360°/(n+1)
132° = 360°*[1/n + 1/(n+1)]

1/n + 1/(n+1) = 132°/360° = 33/40 = 11/30

(n+1 + n)/[n(n+1)] = 11/30

30(2n+1) = 11(n²+n)

60n + 30 = 11n² + 11n

11n² + 11n - 60n - 30 = 0

11n² - 49n - 30 = 0

Resolvendo por Bhaskara, obtemos:
n' = 5
n"= -6/11 (desprezar por ser negativa)

Logo, vem:
n = 5
n+1 = 6

Conclusão:
n + (n+1) = 5 + 6 = 11




Um abraço.

Muito obrigada!